多复变Bergman核理论中的若干问题研究

We study the Bergman theory in several complex variables through this project. We mainly focus on some topics closely related to complex geometry, including the intrinsic derivative induced by the Bergman kernel and the geometry of bounded domains, the classification problem and holomorphic automorphisms for domains which are invariant under certain compact group, weighted Bergman kernels with applications to the construction of constant curvature metrics, and finally the invariant metrics on unbounded strongly pseudoconvex domains.

本课题的研究对象为多复变函数中的Bergman核理论，主要研究现代Bergman核理论与复几何密切相关的一些重要前沿问题，包括Bergman核诱导的内蕴导数与有界域Bergman几何、紧群作用下不变区域的全纯自同构群与分类问题、加权Bergman核及其在常曲率度量研究中的应用和无界强拟凸域的不变度量等内容。

该项目主要研究现代Bergman核理论中与复几何分析、复代数几何有关的一些前沿问题。据国内外相关问题的研究现状和进展，申请人与项目组成员以及合作者在项目研究期间，主要取得了以下研究结果：.1、利用陆启铿院士引入的内蕴导数的概念，证明了挤压函数边界极限等于1的全纯齐性正则区域上Bergman曲率的渐进性质，推广了前人在有界强拟凸域上Bergman曲率边界渐进性质的工作；.2、与合作者完全解决了复二维拟齐性域保持原点不动的全纯自同构群分类问题，对于高维情形的分类问题提出了相应的研究办法；.3、与合作者引入了有界域上的一类完全不变量，利用该不变量在不同区域间的线性等距性质，完整刻画了有界超凸域的全纯等价分类问题；.4、与合作者构造了一类无界小林双曲区域，其上存在完备Bergman度量，但是不存在非常值的有界全纯函数；.5、与合作者利用经典的Ohsawa-Takegoshi延拓定理，给出了多重次调和函数全新的刻画，并且利用这种刻画重新证明了Bergman核的多重次调和变分性质、以及全纯向量丛及其直接像的格列菲斯正性问题。该结果把多复变中经典定理的逆定理研究与复几何中全纯向量丛的正性研究建立起新的桥梁。.项目执行期间，项目负责人与项目组成员多次应邀参加国内外多复变与复几何会议，并且多次报告我们的最新研究成果，得到国内外专家的一致好评。相关研究结果引发国内外专家的系列后续研究。