Bergman 核若干问题研究

We mainly focus on the following three basic problems on the Bergman kernel: 1. Parameter dependence of the Bergman kernel; 2. Lp estimates and off-diagonal estimates of the Bergman kernel; 3. Asymptotic behavior of the Bergman kernel. Through the study of these problems, we hope to find (1) the intrinsic relationship between parameter dependence of the Bergman kernel and the singularity theory of holomorphic functions and plurisubharmonic functions; (2) the role of Bergman kernel estimates in the study of Holder continuous extension problem of biholomorphic mappings between bounded domains with real-analytic boundaries, and further develop the application prospect of the Monge-Ampere operator; (3) the relationship between the asymptotic behavior of the Bergman kernel and other geometric invariants, and probable applications in Number Theory.

我们主要研究如下三个关于 Bergman 核的基本问题：1. Bergman 核的参数依赖性；2. Bergman 核的 Lp 估计和非对角线估计；3. 复流形的一个覆盖塔上的 Bergman 核的渐近行为。通过对这些问题的研究，我们有望了解 (1) 加权 Bergman 核的参数依赖性和全纯函数以及多次调和函数奇点理论之间的内在联系；(2) Bergman 核的估计在实解析有界区域之间的双全纯映射 Holder 连续延拓问题、Bergman 正交投射的 Lp 映射性质、以及进一步开发 Monge-Ampere 算子的应用前景；(3) 覆盖塔上Bergman 核的渐近行为与其它几何不变量之间的联系，以及可能存在的在数论方面的应用。

1. 超凸域是多复变中的一个基本概念，其在多重位势理论与 Bergman 理论中起着重要的作用。一个古老的问题是拟凸域在何种条件下是超凸域？通过 Diederich-Fornaess, Kerzman-Rosay 以及 Demailly 等人的工作可知 Lipschitz 边界拟凸域为超凸的。利用相对极值函数精确估计的新方法，我证明了 Holder 边界拟凸域为超凸域，其也可用来估计 Bergman 距离的下界以及非对角线 Bergman 核的可积性。2. 经典的 Demailly 逼近定理表明多次调和函数的奇性和加权 Bergman 核的渐近行为之间存在深刻的联系。我本人的工作以及与王煦合作的工作揭示了多次调和函数的实变性质如 BMO, VMO 以及 John-Nirenberg 指数与复奇性性质如 Lelong 数、复奇性指数等之间也有相应的联系，同时得到了多次调和函数的 (相应于球的) BMO 性质的两个新证明以及相应于任意多圆柱的 BMO 性质的反例。3. Stein 流形是多复变中最重要的复流形，其可以逆紧地嵌入为复欧氏空间的一个闭复子流形。一个自然的问题是研究该流形上的函数论与微分几何之间的联系。在与熊渊朴合作的一个工作中，我们得到了相应于全纯线丛的 Lp Bergman 空间的维数有限的精确曲率刻画以及仿射代数流形上的 p-多亏格的有限性；作为应用，我们得到了有界拟凸域在嵌入至复欧氏空间以及仿射代数流形的曲率渐近性质。