C^n中有界拟凸域上的陆启铿问题研究

该申请项目主要研究C^n中有界拟凸域的Bergman核零点问题，国际上称之为陆启铿猜想，主要探索如下几个国内外公认的具体问题：1. 判断C^2中是否存在凸域的例子，其Bergman核有零点。主要研究对象包括C^2中具有光滑边界的二维复椭球。同时也考虑其它能具体求出Bergman核有限形式的低维情形的例子，例如P. Pflug提出并研究的3维极小球（3-dim Minimal ball）等。2. 通过对域的定义参数的刻画，我们研究C^n中的一般的广义复椭球在何种条件下是或不是陆启铿域, 进而研究其零点解析集的解析与几何性质。该问题在许多文章中被列为陆启铿问题未彻底解决的问题之一。3. 对于C^n中的任意有界拟凸域，陆启铿的一个定理把Bergman核的零点问题转化为无穷维复射影空间的共轭点问题，因此我们还将对测地线的共轭点问题进行研究。

C^n中有界拟凸域的Bergman核零点问题，国际上称之为陆启铿猜想或陆启铿问题（该问题目前已被写入多本多复变函数论与复几何教材中）。若区域的Berrgman核有零点，则该区域称为陆启铿域，否则成为非陆启铿域。 我们的青年项目主要探索和研究了如下几个与陆启铿猜想相关的问题：1. 探索C^2中是否存在几何凸域，其Bergman核有零点，即是否存在二维凸非陆启铿域的问题；2. 判断C^n中的一般的广义复椭球在何种条件下是或不是陆启铿域； 3. 通过解雅各比方程，求解德西塔及Anti德西塔空间中测地线的共轭点问题。. 该项目研究进展顺利，基本完成了项目既定的研究方案和内容。主要研究结果包括：1. 对于C^n中的复椭球进行了刻画，证明了其为陆启铿域的充分必要条件；对于一般的广义复椭球，申请人在某些情况下也得到了一些相应的判断陆启铿域的准则。2. 与合作者证明了Anti德西塔空间中的测地线偏离方程,即雅各比方程有周期解，从而测地线有共轭点，而在德西塔空间中，相应的测地线偏离方程没有周期解。3. 把Bergman核函数的零点看作是双全纯变换下不变的解析集，申请人研究了某些特殊区域Bergman核零点的具体分布情况，这对于Bergman定义的表示坐标能否延拓到边界提供了依据。4. 对于一般的有界拟凸域，申请人与项目组成员引入了一类全纯不变量，通过对该不变量边界性质的研究，申请人与合作者统一证明了在边界不含孤立点的平面区域、Kobayashi双曲区域、强拟凸域上的经典不变度量的等价性、完备性及各种边界增长估计。