双曲平衡律系统半整体熵解的适定性及其应用

I plan to study well-posedness of semi-global entropy solutions (weak solutions with small total variation, satisfying entropy condition) to general hyperbolic systems of balance laws, that is, given any fixed finite time interval, if the total variation of initial and boundary data is small enough, does the entropy solution uniquely exist in the admissible function space on the time interval with stability? In general, without the dissipative boundary condition and diagonal dominated assumption on the source term, there is no global entropy solution, therefore, the existence of semi-global entropy solution would be the optimal result. Since in many real applications, solutions only need to be considered on the finite time interval, the theory of semi-global entropy solutions has its value of applications.. In order to motivate and improve the study of semi-global entropy solution, I plan further to apply the well-posedness of semi-global entropy solutions to study boundary controllability of hyperbolic balance laws. I will try to find under what condition the system is controllable through boundary control and the general method to solve boundary controllability problem in the context of entropy solutions. Also I plan to solve the one side boundary controllability of entropy solution, by considering the model of hyperbolic balance laws, which is poorly known up to now.

申请人计划研究具有一般形式的一维双曲平衡律系统在有限区域上的初边值问题的半整体熵解（有界变差足够小，满足熵条件的弱解）的适定性：任意给定一固定的有限时间区间，是否只要初边值的有界变差相应地足够小（依赖于时间段大小），在这一时间区间内熵解在所考虑的函数空间内有存在唯一性和稳定性。一般在没有耗散边界条件和外源项函数对角占优的假设下，不存在整体熵解，从而半整体熵解将可能是最优的结果。很多实际问题只用考虑有限时间内解的情况，所以半整体熵解的适定性理论有其广泛的应用价值。. 为了更好地驱动和完善半整体熵解理论，申请人计划应用半整体熵解的适定性理论研究双曲平衡律系统熵解的边界能控性。寻找能实现此系统边界能控所要满足的合理条件，以及具有广泛适用性的证明方法。结合具体的双曲平衡律模型，研究其熵解的单侧边界能控性，以填补这方面科研成果的空白。

双曲平衡律系统的边界能控性是研究由双曲平衡律方程所描述的动力系统在特定的环境下，能否通过边界控制，使得系统（由方程的解所刻画的）状态，在有限时间内维持或者发展到目标状态的学科。该领域的研究成果可以应用到很多实际工程问题，如交通流调度、水利调控和管道输运。以往关于这方面的研究工作大多是在经典解的框架下完成。但是为了刻画激波和接触间断波等重要的物理现象，有必要考虑熵解这一类广义解。由于熵解关于时间不可逆且包含间断，使得研究难度大大增加，至今关于双曲平衡律系统熵解的边界能控性，只有一些针对特殊双曲守恒律（即不带源项的平衡律系统）的零星研究成果。本课题借鉴了李大潜院士等人论证一维拟线性双曲系统经典解的边界能控性所使用的构造方法，从研究一维双曲平衡律系统的半整体熵解的适定性出发，讨论熵解的三个关键信息：存在唯一性，正向解和横向解的等价性和决定区域。并以此为基础，系统研究了两类双曲守恒律方程组：一类是负特征都是线性退化的双曲守恒律系统，证明其熵解的精确单侧边界零能控性；另一类是线性退化的双曲守恒律系统，证明其熵解的精确单侧边界能控性和精确双侧边界能控性。沿着这一思路，我们进一步研究了带有源项的双曲平衡律系统熵解的半整体适应性，并在克服了一些技术上的困难之后，把相应的边界能控性的结果推广到一维双曲平衡律系统。我在方法上有一定的突破性：不同于以往利用波前追踪方法得到近似边界能控性再取极限，而是直接利用系统熵解的性质，得到相应的精确边界能控性。这一结果首次证明了具有一般形式的双曲平衡律系统的熵解的精确边界能控性，并给出了最优的控制时间。