双曲守恒律的整体Riemann解及其稳定性分析

It is important to study the Riemann problem for the nonlinear hyperbolic systems of conservation law in the theory and application. In this project, we will study the Riemann problem for several hyperbolic systems of conservation law by employing the characteristic analysis method and the self-similar viscosity vanishing approach. At first, we study the generalized Riemann problem for the Majda-CJ model with two ignition thresholds and we also check that whether the Riemann solutions are reasonable or not through the self-similar viscosity vanishing approach. Then, we study the Riemann problem and interactions of elementary waves for the hyperbolic conservation laws with discontinuous coefficients and analyze the stability of the Riemann solutions under the local small perturbation. Finally, we not only study the self-similar Riemann problem in which the initial states are three pieces of constants or four pieces of constants, but also study the non-selfsimilar Riemann problem for the simplified models of two-dimensional gas dynamics equation. The content of this research is fundamental and important for the theory of hyperbolic conservation laws. The research achievement is hoped to promote efficiently the development of the theory of hyperbolic conservation law and is helpful to understand the discontinuous property of weak solutions and the development mechanism of singularity.

非线性双曲守恒律Riemann问题的研究有着重要的理论意义和应用价值，本项目主要利用特征分析法和自相似的粘性消失法对几类双曲守恒律系统的Riemann问题进行研究。首先研究具有两个点火限的Majda-CJ模型的广义Riemann问题，并通过自相似的粘性消失法来检验其Riemann解的合理性。其次研究带有间断系数的双曲守恒律的Riemann问题和基本波的相互作用问题，并对其Riemann解在局部扰动下的稳定性进行分析。最后我们研究二维气体动力学方程组各种简化模型在三片常数情形下和在四片常数情形下的自相似Riemann问题以及非自相似的Riemann问题。上述研究内容都是双曲守恒律理论中最基本和最重要的问题之一，本项目的研究成果有望有效地推动双曲守恒律理论的发展，更深入的理解双曲守恒律弱解的间断特性和奇性的发展机制。

本项目重点研究了气体动力学、燃烧模型和色谱系统中的一些非线性双曲守恒律系统中的Riemann问题以及各种扰动和广义的Riemann问题，并对其Riemann解在各种扰动下的稳定性进行具体分析。我们的研究成果主要分成以下六个部分：. (1) 研究带有间断系数的标量守恒律的Riemann问题，共振现象发生在其Riemann问题的解。进一步，我们考虑初值为三片常状态下的扰动的Riemann问题，这一问题的本质就是研究基本波的相互作用问题。在一些特定的情形下会发生分枝现象，即稀疏波与驻波间断相互作用时会分解成一个前向的稀疏波和一个后向的激波。. (2) 研究带有Dirac函数源项的凸的标量双曲守恒律的Riemann问题并进一步考虑初值为三片常状态下的扰动的Riemann问题，我们给出了具体的Riemann解关于初值扰动的稳定性判别条件。. (3) 我们利用局部线性化的技巧和Leray正则化的技巧分别研究了带有间断系数的线性标量双曲守恒律的Dirac驻波解的形成。. (4) 我们研究了具有“跳跃”型点火函数的Majda模型的广义Riemann问题和扰动Riemann问题，并分析扰动对Riemann解稳定性的影响。. (5) 我们研究了色谱系统中狄拉克激波与其他基本波的相互作用问题，狄拉克激波解在Dafermos自相似粘性消失下的稳定性分析，以及作为狄拉克激波解逼近的shadow波解的构造。. (6) 我们研究了在Coulomb类型摩擦项作用下零压气体、等熵的Chaplygin气体和广义的Chaplygin气体的Euler方程组的Riemann问题及其Coulomb类型摩擦项对Riemann解的影响等。. 在本项目的支持下，我们基本完成了项目任务书上的各项内容和研究目标，目前已在国内外SCI学术期刊上发表了25篇与本项目直接相关的学术论文，另有部分本项目成果已整理成学术论文在投稿过程中。