多复变量函数空间上斜Toeplitz算子的代数性质

The theory of slant Toeplitz operator has become the hot problems for discussion in the field of operator theory, by reason that it is closely related with every branch of mathematics and has many important applications in dynamical systems、wavelet analysis and so on. With the development of the theory of function space, slant Toeplitz operator has been generalized to different function spaces and has been studied deeply. Our object mainly study the algebraic problems of slant Toeplitz operators on the function space of several complex variables: 1、 on the Hardy space of the polydisk and the unit ball, applying the function theory 、the harmonic extension and the space theory we we fully decribe the properties such as (essential) commutativity、hyponormality and compactness of slant Toepltiz operators ; 2、 applying Berezin transform、Mellin transform and Multi-Fourier series, the properties of slant Toeplitz operators on the Bergman space of the unit ball and the polydisk，such as hyponormality、(essential) commutativity and compactness，will be fully described.

斜Toeplitz算子理论因为与数学各个分支的紧密联系以及在动力系统、小波分析等方面的广泛应用而成为算子理论中的热门研究方向。随着函数空间理论的发展，斜Toeplitz算子已被推广到各种函数空间上，并得到了深入研究。本项目主要对多复变量函数空间上斜Toeplitz算子的代数问题展开研究：1、在多圆盘及单位球的Hardy空间上，运用函数论、调和扩张及空间理论充分刻画斜Toeplitz算子的（本性）交换性、亚正规性及紧性；2、运用Berezin变换、Mellin变换及多重Fourier级数对单位球及多圆盘的Bergman空间上斜Toeplitz算子的亚正规性、(本性)交换性及紧性给出充分刻画。

斜Toeplitz 算子是函数空间上一类重要的算子。由于与数学自身理论发展的紧密联系及其在控制理论、量子力学、小波分析等方面的广泛应用，这类算子成为算子理论的热门研究方向，吸引了众多学者的关注。随着函数空间理论的发展，人们对这类算子进行了深入的研究，取得了大量重要的成果。但到目前为止，对这类算子还有许多重要的问题没有得到解决。本项目主要对k阶斜Toeplitz算子的交换性、亚正规性等代数问题展开了研究，研究工作的进展情况如下：. 1、利用函数论及算子理论研究了多圆盘的Bergman空间上斜Toeplitz算子的性质,得到了以有界共轭解析函数或多重调和多项式函数为符号的k阶斜Toeplitz算子可交换的充要条件以及带有多重调和符号的k阶斜Toeplitz算子为亚正规算子的充要条件。. 2、给出了多圆盘的Hardy空间上k阶斜Toeplitz算子的定义，并利用函数论、空间理论及多重Fourier级数等理论对斜Toeplitz算子的交换性和亚正规性展开了研究，得到了两个以有界解析函数和有界共轭解析函数的和函数为符号的斜Toeplitz算子可交换的充要条件、两个带有界解析符号的斜Toeplitz算子乘积为零算子的充要条件以及以有界解析函数和有界共轭解析函数的和函数为符号的斜Toeplitz算子为亚正规算子的充要条件。. 3、分别给出了单位球的Bergman空间和Hardy空间上k阶斜Toeplitz算子的定义，并利用函数论、空间理论及多重Fourier级数等理论对斜Toeplitz算子的交换性和亚正规性展开了研究，得到了两个以有界解析函数为符号的斜Toeplitz算子可交换的充要条件以及带有有界共轭解析符号的斜Toeplitz算子为亚正规算子的充要条件。. 由于对多变量函数性质缺少更深入的了解，目前所得的结果都是关于以特殊函数为符号的斜Toeplitz算子的。今后我们将继续进行该方面的研究，并将所得研究成果标注为受到该项目的资助。