Koszul对偶及其应用

Koszul duality is a duality and phenomenon generalizing the duality between the symmetric and exterior algebra of a vector space, and finds its wide applications in many different fields in mathematics. For a pair of Koszul dual algebras, there is a correspondence , which we call the Koszul duality, between certain parts of their derived categories. Many problems in different research fields are linked by Koszul duality. In some cases, a difficult problem in some research field turns to be much easier in some other field after applying Koszul duality. The proposal is based on this observation. We aim to study Koszul duality appearing in representation theory of algebras, non-commutative geometry, and Lie algebras and quantum groups, and its applications, by borrowing ideas and methods from one another. ..In more detail, we will study the image of Gorenstein projective modules under Koszul duality, and develop the BGG correspondence of Gorenstein version by using MCM stable categories and Gorenstein singularities, and apply the correspondence in the study of Gorenstein (co)homology; establish the BGS Koszul duality and generalized BGG correspondence for coherent algebras, and apply to study the singularity category and the category of coherent sheaves; study the Koszulity and Koszul dual of a trivial extension algebra, smash product algebra, and so on; discuss the Koszul duality for Lie (super)algebras and quantum (super)algebras, and apply to the study of representation theory and classification problems.

Koszul对偶在多个数学分支中有着广泛而重要的应用，它给出了互为对偶的两个代数的导出范畴之间的对应，这种对应往往能将某个领域中复杂的问题转化为其他领域中较容易解决的问题。本项目利用Koszul对偶，互相借鉴代数表示论、非交换代数几何、李代数和量子群等领域中的不同思想、方法，研究相关领域中产生的各类Koszul对偶以及它们的应用。主要研究内容包括：研究Gorenstein投射模在Koszul对偶下的像，利用MCM稳定范畴和Gorenstein奇点范畴给出Gorenstein型的BGG对应，寻求该对应在Gorenstein同调理论中的应用；对Coherent代数建立Koszul对偶和广义BGG对应，并利用广义BGG对应来研究奇点范畴和稳定范畴；研究平凡扩张、smash积等代数扩张的Kozul性质和Kozul对偶，用以探讨李超代数、量子（超）群的Koszul对偶，并应用到其表示和分类中。

本项目围绕代数表示理论的前沿理论及其应用展开研究，主要研究课题包括Koszul对偶和dg Koszul对偶、Gorenstein同调、代数的同调光滑性、三角范畴的标准等价、稳定模型结构、正合范畴AR理论、范畴代数、有限张量范畴分类、Poisson上同调理论等。项目在相关领域取得系列成果，主要进展包括：引入D-standard和K-standard范畴，给出Rickard标准等价猜想给出一个等价的刻画，为解决Rickard标准猜想提供了一个新的思路；指出了代数的特征映射的单性与同调光滑性之间的密切联系，证明了路代数特征映射的单性，以及半单代数特征映射的单性与其同调光滑性等价；给出了正分次箭图路代数的Koszul对偶，证明了正分次箭图路代数上在导出等价意义下仅存在平凡的A_∞结构；对箭图引入构造了内射Leavitt复形，并证明该复形的dg自同态代数与微分平凡的Leavitt 路代数拟同构；研究了正合范畴上的由对象决定态射的理论，给出了正合范畴具有Auslander-Reiten对偶的新刻画；计算了有限投射EI范畴代数的奇点范畴的张量三角谱；给出了任意Frobenius 范畴的稳定范畴的非闭的模型结构，由此阐明了Happel的工作可以由Quillen的工作实现；给出有限阿贝尔群任意阶cocycle的显示表达式，并应用于辫子张量范畴分类及环面的Dijkgraaf-Witten不变量的计算；利用有限阿贝尔群3-cocycle的具体公式，给出有限维分次对角型点化Majid代数的分类；研究了非交换泊松代数的泊松上同调理论，并给出它们与结合代数的Hochschild上同调和Lie代数上同调之间的联系，指出Kontsevich的形变量子化是一类特殊的形式形变；给出平面渐进图和upward平面图的纯组合刻画，为Joyal-Street的图分析提供了一个组合的框架，并由此给出自由半群范畴的构造。