高阶自守L-函数的亚凸上界

Automorphic L-functions are among the central objects of number theory, representation theory of Lie groups, arithmetic geometry and so on. In general, people are most concerned with three aspects of automorphic L-functions: their structures, their arithmetic properties and analytic properties. In this project we will study an analytic property of L-functions by applying tools in algebra, geometry and analysis. More precisely, we study the following problems:.1. We use algebraic-geometric means, to be specific, the singularity resolutions and D-modules, to study invariant automorphic functionals (or, distributions). In particular, we study their analytic extension and their growth property at special points. According to the Rankin-Selberg theory, one may study automorphic L-functions through studying automorphic functionals. The work will lay the foundation for this method..2. We use representation-theoretic means of Lie groups to study the subconvexity bound of automorphic L-functions (on the critical line) for the general linear groups. The subconvexity bound on the critical line is one of the most important topics on the analytic properties of automorphic L-functions. Nowadays, numerous results on this problem have been established for low-rank groups such as GL(2) and GL(3), while for higher rank groups we know little except for the trivial bound..3. We extend the above work to general reductive groups.

自守L-函数是数论、李群表示论、算术几何等领域的核心研究对象之一。一般而言，人们主要关心自守L-函数的三个方面：结构、解析性质、算术性质。在本项目中，我们将综合运用代数、几何、分析的方法来研究自守L-函数的解析性质。具体地，我们将研究如下问题：.1. 利用代数几何中的奇点消解和D-模理论来研究一般线性群上的不变自守泛函的解析性质，尤其是研究该泛函的解析延拓、在特殊点处的增长速度。根据Rankin-Selberg理论，我们可以通过研究不变自守泛函来研究自守L-函数，本项工作乃是为这一技术路线奠定基础。.2. 利用李群表示论的方法来研究一般线性群上的自守L-函数在临界线上的亚凸上界。临界线上的亚凸上界问题是自守L-函数解析性质中最重要的问题之一，在低阶群GL(2)和GL(3)上人们对此问题已有较为深入的认识；在高阶群上，除了平凡的结果我们知之甚少。.3. 将上述两项工作推广到一般的约化群上去。

本项目旨在利用李群表示论的方法来研究自守周期的某些解析性质，并籍此研究自守L函数的亚凸问题。在项目的资助下，我们研究了以下问题：.1. 定义Rankin-Selberg级数并探索它的增长速度。Rankin-Selberg级数是我们在研究自守周期中遇到的一类非常自然的对象，它的（关于Siegel set里的元素的）增长速度与自守周期的解析性质有密切的关系。我们使用格点计数的技术来处理该级数的增长速度；从此角度看，我们得到的结果是最优的。 .2. 研究Hilbert簇的Hirzebruch-Zagier子簇上的自守周期关于谱参数的增长速度。我们将以下工具/知识糅合在一起：重数一定理、Hirzebruch-Zagier子簇的几何性质、李群调和分析的加厚技巧。作为推论，我们得到一类（曾被江迪华-励建书-张寿武研究过的）自守L-函数特殊值的谱上界。.3. 研究一般线性群的主序列表示的Rankin-Selberg积分的具体表达。我们将该Rankin-Selberg积分表述为某个非常具体的轨道积分，并研究了后者的收敛性。类似地，我们将Rankin-Selberg卷积也表述为某个非常具体的轨道积分，并研究了轨道积分的收敛性。两种情况的结论相近，处理过程都有高度的技巧性，但方法大相径庭，前者使用Tate博士论文里的技术及Schwartz同调理论，后者使用归纳法。此项工作已经被应用于自守Deligne猜想的证明并发挥了重要作用。.4. 研究一般线性群的spherical主序列表示在非紧模型中的所有Rankin-Selberg积分（或intertwining算子）。我们把该积分的基本构成元素全部构造了出来，考虑到一般的Rankin-Selberg积分都是由这些基本元素组合而成，这项工作将对以后相关理论的发展发挥基础作用。.以上工作产生5篇论文，发表在Archiv der Mathematik, J. Number Theory, Science China (Math), Forum Mathematicum, Manuscripta Mathematica上。