外域上非线性波方程的能控性研究

研究波方程的相关控制问题是当前国内外控制理论界十分活跃的研究课题。本项目拟研究外域上非线性波方程的边界能控性以及系统能量在边界反馈控制下的衰减速度等问题。外域上波方程的能控性研究是考察能否通过在外域的边界上施加控制，使得系统状态可以在有限时间内到达或者接近给定的目标状态。外域是无界域，许多有界域问题的处理方法，例如常用的吸收低阶项的紧性唯一性方法，还有研究能控性问题中经典的Carleman估计等都不再适用。本项目拟尝试通过几何分析的方法，给出一个黎曼度量来克服非线性主部带来的困难，将外域非线性波方程视作非紧流形上的波方程，然后利用几何上整体坐标框架下的计算技巧，结合方程本身的相关估计，得到系统能控性的结果。本课题将在一定程度上完善非线性无穷维系统的控制理论，促进其对非线性科学、工程控制器设计等领域的应用，具有重要的理论意义和应用价值。

本项目将几何分析的方法与非线性波方程无界域问题的研究方法有机结合，以非线性双曲方程在边界控制下的系统能量衰减速度研究为主线，结合黎曼几何框架下的法坐标的整体计算技巧，得到了一些有用的能量估计，讨论了非线性双曲方程的能控性和能量衰减问题，成果如下：. (1) 在边界控制下，研究无界区域上的非线性双曲方程的能量衰减，讨论解的存在性和系统稳定性。.(2) 讨论了当控制施加在局部边界时，控制区域大小和方程主部形式之间的关系。刻画了方程主部形式反映出的系统的几何特征。.(3) 研究了双曲型方程的相关问题：包括耦合的波和板方程在非线性速率控制下的能量衰减速度，在黎曼几何的框架下，给出了恰当的反馈控制形式以及共同边界的结构；还有薛定谔方程的电位系数识别问题等。