无界域上波方程的能控性与反问题

Control theory of wave equations is an active topic in recent years. This project aims to investigate the controllability of wave equations on unbounded domains, as well as the energy decay rate of the system under boundary feedback control. Another main aspect of this project is to consider the inverse problems of wave equations on unbounded domains. We aim to establish the uniqueness and stability of the inverse problem, in which we will recover the damping coefficient and potential coefficient of the wave equation via just one boundary measurement. Here we only make some regularity assumptions on the initial data (in stead of assumptions on the solution of the equation as usual). For the related control problems on unbounded domains and inverse problems, many methods and estimates which hold true for bounded domains do not work, such as the compactness-uniqueness method for absorbing the low order terms. And the canonical Carleman estimates are no longer applicable. We attempt to use geometry analysis and the computing skills under the framework of Riemannian geometry to get the controllability, uniqueness and stability results for inverse problems of wave equations. In one word, this project will improve and enrich the control theory of nonlinear infinite dimensional system as well as the research of inverse problems.

波方程的控制问题和反问题是当前国内外十分活跃的研究课题。本项目拟研究无界域上波方程的边界能控性、系统物理能量的衰减以及方程系数识别等反问题。能控性研究是讨论系统状态能否在有限时间内到达目标状态；反问题研究是考察方程的系数对系统边界观测量依赖的唯一性和稳定性。对于无界域上的相关控制问题和反问题，许多有界域问题的处理方法，例如常用的吸收低阶项的紧性唯一性方法，还有研究能控性问题和反问题中经典的Carleman估计等都不再适用。本项目拟尝试通过几何分析的方法，将无界域上非线性波方程置于黎曼流形的框架下，利用几何上整体坐标下的计算技巧，建立适合于无界区域上波方程的改进Carleman型估计。基于新的Carleman型估计，我们将尝试结合对偶原理得到方程的能控性；结合波方程最优正则性结果，得到无界域上波方程反问题的唯一性和稳定性。本课题将在一定程度完善无界域上无穷维系统的控制理论以及反问题研究。

本项目的研究紧紧围绕无界域上波方程的控制问题展开，主要的研究成果撰写成13篇学术论文发表在Nonlinear Analysis: Real World Applications、System Control Letters以及Journal of Inverse and Ill-posed Problem等杂志上。最具代表性的研究成果为：1）本项目通过几何分析的方法，将无界域上非线性波方程视作非紧流形上的波方程，利用几何上整体坐标框架下的计算技巧，结合方程本身的相关估计，探讨了系统能量衰减速度等问题。2）探讨了黎曼流形上薛定谔方程的反问题研究，给出了方程的电子系数对系统边界观测量依赖的唯一性和稳定性，我们仅仅通过一个边界观测量，以及对方程初值和边界条件提出适当的正则性要求，得到方程反问题的唯一性和稳定性。3）利用几何方法讨论了黎曼流形上耦合的波板方程的指数稳定性和能控性，以及kdv方程的可积性等相关问题。本课题在一定程度上丰富了非线性无穷维系统的控制理论以及反问题研究。有1名博士后，3名博士生，7名硕士生参与了课题研究。