基于变分收敛技术的平衡问题研究

In this project we study equilibrium problems via variational convergence. (a) We extend the concept of generalized epsilon-quasi-solution introduced for optimization problems to equilibrium problems and study the properties of generalized epsilon-quasi-solution set and its relations with the exact solution set. (b) By applying the lopsided convergence due to A. Jofre and R.J.B. Wets, we investigate stability of the Ekeland's variational principle introduced by M. Bianchi et al. for bivariate functions. (c) We introduce and study the well-posedness involving generalized epsilon-quasi-solution for equilibrium problems, which is based on the lopsided convergence of sequences of bivariate functions and the Kuratowski-Painleve convergence of sequences of constraint sets. (d) We study the stability of error bounds in the sense of G. Mastroeni for equilibrium problems. The study of this project is important because it yields not only new theories and methods for equilibrium problems but also provides potential tools for solving practical problems arising in transportation, resource allocation and engineering management, etc.

本项目利用变分收敛方法对平衡问题展开相关研究。我们致力于把优化问题的广义epsilon-拟解概念推广到平衡问题，研究这类近似解集的性质以及与精确解集的关系；利用A. Jofre和R.J.B. Wets提出的lopsided收敛性概念研究M. Bianchi等人所建立的二元函数的Ekeland变分原理的稳定性；利用二元函数序列的lopsided收敛性和约束集合序列的Kuratowski-Painleve收敛性定义引入并研究基于广义epsilon-拟解的平衡问题的适定性；研究G. Mastroeni等人建立的平衡问题误差界的稳定性。本项目的研究不仅可以丰富和发展平衡问题的新理论与方法，而且可以为产生于交通运输、资源分配以及工程管理等领域中的大量决策问题的求解提供潜在的理论工具。

平衡问题把优化问题、变分不等式问题以及互补问题等重要数学统一个简单的框架下，其研究具有重要的科学意义。通过本项目的实施，我们利用变分分析等方法对平衡问题领域（含优化问题、变分不等式问题以及互补问题）展开研究并取得了一些重要进展。（I）研究了一类向量平衡组问题，利用拓扑伪但单调性证明了此类向量平衡组问题解的存在性。（II）研究了广义Minty似变分不等式、不变沿射线增性质以及不变星形优化之间的关系，利用不变沿射线增性质建立了广义Minty似变分不等式与不变星形优化之间的等价性。（III）利用变分收敛性技术研究了星形向量优化问题的稳定性。（IV）研究了一类分裂逆变风不等式问题的适定性，建立了其Furi-Vignoli型刻画，在很弱的条件下证明了其与解的存在唯一性的等价性。（V）利用例外族的方法研究了一类序补组问题解的存在性，我们对一类序补组问题引入了例外族的概念，并证明了这类序补组问题要么有解，要么存在例外族。