关于无穷维动力系统解的长时间行为的研究

本项目将在深入研究无穷维动力系统全局吸引子的存在性的同时，进一步探索动力系统全局吸引子的分析和几何性质。主要研究带有较复杂非线性项的非线性发展方程的全局吸引子的存在性问题；把所得的和最新的研究方法和研究成果推广应用到具有重要物理意义的数学物理方程中（包括定常系统和随机耗散系统，如大气与海洋动力学方程组、随机耗散波方程等），建立对这些方程解的长时间行为的进一步的数学刻画和解释；再将这些从具体问题得出的感性认识反馈到理论研究中。从吸引子的正则性着手，研究全局吸引子的分类、平衡点附近流的性态，以及吸引子的正则逼近和边界扰动问题。这些问题是无穷维动力系统研究的主要问题和活跃问题之一，一直吸引并激励着人们去发展新的分析技巧，对他们的任何研究进展都将带动无穷维动力系统吸引子研究的各个相关方面的发展。

本项目一切按计划进行，进展顺利，取得了一系列较为重要的理论和应用性成果。本项目截止目前共发表论文6 篇，另有一篇接收待发表。.取得主要成果如下：.1) 关于吸引子存在性方面，主要考虑了运用传统方法很难奏效的一大类具体的非线性发展方程的吸引子的存在性问题。重点研究了部分不能正则化的无穷维耗散动力系统（确定、非自治）所对应的非连续半群（过程族）的全局吸引子（一致吸引子、拉回吸引子）的存在性，针对关于吸引子存在的关键性条件--渐近紧性或w－极限紧性的验证，给出了渐近先验估计方法，突破了原有研究吸引子存在性的理论框架。作为应用，与兰州大学杨璐副教授合作，重点考察了动态边界系统（它是一个有着丰富物理背景和实际意义的问题，如，现实中有很多动力系统都是通过边界来控制系统），所得结果大大改进已有的相关结果。其相关结果发表在NONLINEAR ANAL-RWA、DCDS-B上。.2) 关于吸引子的分析和几何拓扑性质。从吸引子的正则性着手，结合椭圆方程理论，主要研究了吸引子的正则性与稳态解的关系和边界条件对吸引子的影响。到目前为止，据我们所知，人们判定吸引子的可能的正则性都是从相应的稳态（椭圆）方程出发，从而外力项的正则性在很大程度上就限制了吸引子的正则性。在研究中，我们提出了将原来的发展方程分解为一个非线性椭圆方程和一个新的发展方程，从而达到“去掉”外力项对解的正则性的影响这一目的。应用这个想法，不仅可以得到解的更好的先验估计（从而很容易就得到吸引子的存在性），而且在某中程度上这个结果预示着发展方程与稳态方程的进一步联系。相关结果发表在NONLINEAR ANAL-TMA上。.3）将我们所建立的理论方法应用到数学生物模型中。与德国法兰克福大学Peter Kloeden教授合作，研究了带有自由边界的非自治种群模型的解的渐近行为，这个模型是由 Kim & Lin 2009年提出的。证明了该系统的拉回吸引子的存在性。这个结果在理论以及应用上都是非常有意义的。相关结果发表在Revista Matemática Complutense上。.4）随机耗散动力系统解的长时间行为研究。与美国伊利诺理工学院段金桥教授以及Peter Kloeden教授等国内外同行展开了密切的合作，将定常系统的研究理论和最新的研究成果推广至随机耗散动力系统。相关结果发表在NONLINEAR ANAL-RWA上。