高分子流体Fokker-Planck方程的高效谱方法

高分子流体动理学有两种数学描述：一种基于随机微分方程，另一种基于确定型的偏微分方程：即Fokker-Planck方程。本项目主要研究后者的高效数值方法和相关软件。此类Fokker-Planck方程一般来说是5到6维的时间发展偏微分方程，因此数值求解需要超强的计算能力。我们将采用最新的具有线性或拟线性计算复杂度的谱方法，以及稀疏网格(Sparse Grid)技巧, 并结合分布式并行计算和GPU加速来求解此类高维方程。这个课题的研究成果将对其它应用领域中出现的高维偏微分方程的数值求解，比如金融产品定价的Black-Scholes方程， 描述电子结构的薛定谔方程等，有很强的启发意义。 部分技巧将直接推广到这些方程的求解中去。

本项目研究了高分子聚合物流体力学动理学方程组的高效数值方法. 高分子流体动理学方程组包括两部分: 一部分是描述宏观不可压流 体的Navier-Stokes方程; 另一部分是描述大分子微观构型的Fokker- Planck方程. 后者的计算量巨大, 我们采用带权的变分形式, 构造了一 个具有最优计算复杂度的谱方法. 为了处理此方程的高维性,我们还研究了针对高维问题的稀疏网方法, 设计了针对高维偏微分方程的高效谱方法求解算法. 对于宏观流体方程,其复杂之处在于方程解的稳定 性. 针对此问题, 我们基于极小作用方法, 设计了高效的谱算法计算不 可Navier-Stokes方程多解的相互转变路径, 并用之研究了平面剪切流 的层流解的失稳机制. 上述工作所使用的研究方法和取得的结果都属 国际首创, 对不可压流体的稳定性理论和复杂流体的高精度建模和模 拟等方面的科学研究有重要意义.