面向中高维偏微分方程的高效谱方法

Higher-dimensional partial differential equations is a big class of mathematical models that widely used in science, engineering and economics. Efficiently solving those equations using numerical methods is of great importance. Traditional tensor-product based grid discretizations and low order numerical schemes are not efficient when applying to these high-dimensional problems. Recently, great progress has been made in solving high-dimensional equations by combining spectral methods and sparse grids together. However, efficient methods are mostly only available for bounded domains, or totally unbounded domains. There is few very efficient spectral sparse grid methods for other types of tensor-product domains and complex domains. In this project, we will build efficient spectral sparse grid methods for half-bounded domains, spherical domains, and even complex domains, with applications to different kinds of higher-dimensional partial differential equations.

中高维偏微分方程是经常出现在科学、工程、经济等领域的一大类数学模型, 对其高效数值求解意义重大。 传统的张量积型的网格离散和低阶精度的数值格式用在这些高维问题上效率低下, 无法处理较大规模的问题。 近几年来, 将谱方法和稀疏网格相结合的数值方法取得了很大发展，被成功的应用到了高维偏微分方程的数值求解中。 但现有方法大都局限于高维周期区域、有界区域或全无界区域。对其它类型的高维正则区域和复杂区域还没有很好的高效算法。 在本项目中, 我们将在高维半无界区域、球形区域以及复杂区域上构建高效稀疏网格谱方法，并将构建的数值方法应用到具体的中高维偏微分方程中去。

中高维偏微分方程在流体力学、材料科学等领域有广泛应用，其高效数值求解极具挑战性但具有重要科学和应用价值。 本项目研究了中高维偏微分方程高精度数值方法的多个方面， 包括稀疏网格谱方法，深度整流幂次单元神经网络方法，高效线性能量稳定的时间离散格式，和模型降维及矩封闭近似等方法， 取得了多个重要进展。其中包括证明了整流幂次单元深度神经网络的谱逼近性质，揭示了其与谱方法逼近和高维函数稀疏网格谱方法逼近之间的内在联系；提出了稳定和易训练的整流幂次单元网络结构，并将其与推广的Onsager原理相结合，设计了能通过高维轨迹数据自动学习复杂动力学系统的低维流形并在其上构建满足热力学定律低维动力学方程的系统性方法。 此外，项目还对几类复杂的非线性方程设计了线性高效的能量稳定时间离散格式。 项目的研究成果得到了国际同行的广泛关注和应用。 项目构建的一系列新方法和高效数值格式为科学计算和工程应用中的中高维偏微分方程的高效求解提供了可靠数值工具。