几类非局部方程的高效谱方法研究

In many cases, the non-local models which include the fractional derivatives and integrals are more naturally to modeling the memory and hereditary properties inherent in various materials and processes. The non-local operators appearance produce much difficulties in analytically and numerically investigate the fractional integro-differential equations. The spectral methods is a high accurate numerical method which approximate the solution globally, and it suit for numerical resolve the non-local problems. In this project, we will develop the high order numerical schemes, including the spectral methods and spectral element methods, for some selected non-local equations, such as Volterra-type integro-differential equations with singular kernel or delay, time, space and time-space fractional dynamical systems involving fractional derivatives. The stability and convergence of the spectral methods will be studied. We also design the adaptive algorithm and fast method by applying the interpolation postprocessing, correction technique, and extrapolation. We will also consider the application to some practical problem in fluid dynamics and materials science. These work will further expand the basic theories of spectral methods and enrich the numerical methods of integro-differential equations and fractional differential equations.

分数阶积分微分方程等非局部模型因为具有非局部算子，能更好地刻画更具有记忆和遗传等行为，越来越多地被用于不同领域的建模，但是非局部算子的存在使得这类方程的理论研究和数值求解非常困难。谱方法是高精度的全局方法，在保证同样精度的前提下，谱方法比其它低阶方法所用的信息量要少，因此高阶的谱方法更适合处理非局部方程。本项目针对带有奇异核和带延迟项的Volterra型积分微分方程，以及对描述反常扩散的几类分数阶积分微分方程，利用谱方法的高精度和全局性，设计几种高效数值方法，给出算法的稳定性和敛性分析；研究相应的自适应方法、快速算法和后处理技术，进一步提高计算效率和收敛阶；将其应用到具有实际背景非局部问题，验证所提出数值方法的可靠性和高效性。这些问题都是学术上具有挑战性的研究热点，期望通过本项目的研究，提高这些非局部模型的计算效率，促进谱方法在分数阶积分微分方程的数值求解中的应用。

Volterra型积分微分方程在一些领域有重要的应用价值。同时分数阶微分方程具有其独特的记忆和遗传性质，具有非局部性，相比与整数阶微分方程，能够更好地进行数值模拟。又分数阶最优控制的问题就是在工程技术中能够按照人们的需要，以不同的方法予以实现，产生了某种条件下最好的解，因而研究这几类非局部问题是非常有必要的。但是这几类问题的真解都比较难获得，从而有必要从数值上进行研究，但非局部算子的存在使得数值求解和理论分析很困难。谱方法是一种高精度的全局方法，具有全局性，从而能够更好地处理所考虑的几类非局部问题。本项目主要是利用谱方法和伪谱Galerkin方法对这几类方程构造出高效的数值格式，并且严格给出误差结果和收敛性分析，通过大量的数值实验验证算法的有效性。这些问题都是学术上的研究热点，期望通过本项目的研究，能够促进谱方法在求解非局部方程上的应用。