在深度渐变的周期底部上传播的液体表面波的频带结构

Since 1990's, the energy band theory, which had widely used in solid mechanics, has been extended to study the propagation of liquid surface waves over periodic bottoms and much achievement has been obtained. However, during these more than twenty years, all the related researchs are restricted in simple bottom structures with piecewice constant depth such as one-dimensional rectangular steps and two-dimensional (water piercing, submerged or bottom drilled) vertical circular cylinders or polygonal cylinders. The main difficulty in solving the governing equations analytically comes from the fact that, for the cases of variable liquid depth, in the linear wave dispersion relation, the wave number is an implicit function of the liquid depth, which leads to the coefficients of the governing equations such as the Ye's equation and the mild-slope equation are also implicit variable coefficients. In this project, we will employ the up-to-date analytical technique for solving the differential equations with implicit coefficents recently derived by this applicant to study the frequency band structures of liquid surface waves propagating over various periodic bottoms with variable depths such as natural sand bars and artificial bars, analyze the influence of each bottom parameter on the width of frequency gap, and by optimization to the bottom parameters to seek for some special bottom structures with maximal width of frequency gaps. This study not only extend the bottom structures, but also provide an important theoretical guidance to the construction and optimazation of coastal and ocean engineerings. In addition, this study will help us to open a new window to investigate the total reflection phenomenon of natural sand bars which is very much concerned by scientists and engineers.

上世纪90 年代开始，在固体力学中广泛应用的能带理论被拓广到研究液体表面波在周期底部上的传播并取得大量成果。然而很遗憾，二十多年来国际上所有的相关研究，全都局限于简单的分段或分片常数深度的底部结构，如一维矩形台阶系列和二维(出水、水下或底部钻孔)直立圆柱或棱柱阵列。原因是变深度情形下线性波色散关系中，波数为深度函数的隐函数，导致控制方程如叶氏方程和缓坡方程的系数为隐函数形式的变系数，给方程解析求解带来极大困难。本项目借用申请者刚刚创立的求隐系数微分方程的最新解析技术，研究液体表面波在各种一维和二维渐变周期底部结构上传播的频带结构，分析各底部参数对频隙宽度的影响，并通过对底部参数寻优，力图找到一些特殊底部结构，使频隙宽度最大。这不但大大拓展了底部结构的范围，也将为近海海洋工程的实际建造与优化提供重要理论指导，同时打开了一个全新的视角去研究和了解科学家和工程师们非常关注的天然沙坝的全反射现象。

上世纪90 年代开始，在固体力学中广泛应用的能带理论被拓广到研究海洋表面波在周期底部上的传播并取得系列成果。然而很遗憾，二十多年来国际上的相关研究全都局限于简单的分段或分片常数深度的底部结构，如一维矩形台阶系列和二维(出水、水下或底部钻孔)直立圆柱或棱柱阵列。原因是变深度情形下线性波色散关系中，波数为深度函数的隐函数，导致控制方程如叶氏方程和缓坡方程的系数为隐函数形式的变系数，给方程解析求解带来极大困难。..本项目研究了海洋表面波越过无限周期系列梯形、三角形、抛物形和半余弦形沙坝时的频带结构，显然这些沙坝相应的水深均为变水深，而非简单的分段或分片常数水深。基于求变系数微分方程的解析技术，我们给出了海洋表面波在这四类天然沙坝上的能带表示（band expression）的解析表达式以及相应的频隙图（gap map），同时分析了各沙坝参数对频隙宽度的影响。这不但大大拓展了前人研究仅限于简单的分段或分片常数水深底部结构的范围，也为近海海洋工程的实际建造与优化提供了重要理论指导。..本项目获得的系列成果为研究论文，共8篇，其中5篇发表在海岸工程或海洋工程专业的国际顶级期刊，包括《Coastal Engineering》(1篇，SCI一区，顶级期刊)，《Ocean Engineering》(3篇，SCI一区，顶级期刊)、《Applied Ocean Research》(1篇，SCI二区)。8篇论文中有5篇同时被SCI和EI收录，1篇被EI收录。..本项目获得一系列具有国际水平的研究成果，主要成果列举如下：.● 给出了线性长波越过梯形和三角形布拉格防波堤的能带显式表达式。.● 给出了线性长波越过抛物形和半余弦形布拉格防波堤的能带显式表达式。.● 发现了频隙与布拉格共振带之间的本质联系：二者竟然完全重合！.● 利用我们的频隙图预测布拉格共振相位的精度大大超过传统布拉格原理预测的精度！.● 第一次揭示出：当正弦沙纹个数增大到很多时，布拉格主振及谐振的振幅都趋近于 1，而共振带宽将达到一个极限的共振带宽。.● 第一次揭示出：波浪越过周期梯形沙坝时反射系数相对无维化沙坝间距的周期性。.● 第一次发现：布拉格共振的主振振幅并不总是大于谐振振幅。