缓坡方程、修正缓坡方程和扩展缓坡方程的准确解析解研究

缓坡方程是线性波领域最有用、最强大的方程，它的适用范围涵盖了从长波到中波再到短波的全波谱宽广波场，且同时包含了折射与衍射双重效应。但由于线性色散方程的隐含关系导致缓坡方程的系数也是隐含的，极大地增加了求理论解析解的难度，以致水动力学界两位国际权威C.C. Mei和R.G. Dean在他们各自的专著中均断言解析解的获得将非常困难。事实上，自1952年缓坡方程被建立以来，国际水动力学界和海洋工程力学界确实一直没有能够给出任何一个准确解析解。本项目在我们已取得的有关缓坡方程相对于一维海底地形准确解析解的突破性进展基础上，拟进一步给出缓坡方程相对于各种二维海底地形的准确解析解，并拟给出修正缓坡方程和扩展缓坡方程相对于各种一维和二维海底地形的准确解析解。这一系列准确解析解的获得，具有重要的理论意义和应用价值，将为各种宽谱数值模型的验证提供准确、经济而有效的强大工具。

本项目构造了缓坡方程、修正缓坡方程的5个解析解，同时构造了缓坡方程的特例长波方程的4个解析解，圆满完成了原定的研究任务计划。取得的系列成果简述如下。.1. 研究了宽频波越过两种防波堤（抛物防波堤和余弦防波堤）及正弦沙坝的反射现象，给出了缓坡类方程于1972年建立40年来缓坡方程和修正缓坡方程的第一个准确解析解。论文发表在国际专业期刊《Wave Motion》(波浪运动)；.2. 研究了宽频波越过水下凹槽的反射现象，构造了缓坡方程和修正缓坡方程的解析解。论文发表在国际权威期刊《Ocean Eng.》(海洋工程)；.3. 研究了宽频波越过带冲刷槽矩形防波堤的反射现象，获得了缓坡方程和修正缓坡方程的准确解析解，并否定了C.C. Mei教授关于长波反射系数为周期函数的结论。论文发表在美国土木工程师协会杂志《J. Eng. Mech.》(工程力学杂志)；.4. 研究了宽频波绕过带理想冲刷坑圆柱岛的散射现象，构造了缓坡方程和修正缓坡方程的级数解析解。论文已被美国土木工程师协会杂志《J. Waterway, Port, Coastal, Ocean Eng.》(航道港口近海与海洋工程杂志)接受发表并已上网；.5. 研究了宽频波绕过Homma岛（即圆柱岛座落于抛物浅滩上）的散射现象，构造了缓坡方程和修正缓坡方程的级数解析解。论文已被国际专业期刊《Wave Motion》(波浪运动)接受发表；.6. 研究了长波绕过广义Homma岛的散射现象，给出了长波方程的级数解析解。论文发表在美国土木工程师协会杂志《J. Waterway, Port, Coastal, Ocean Eng.》；.7. 研究了长波越过曲边斜坡防波堤或陷坑的反射现象，获得了长波方程的解析解。论文发表在美国土木工程师协会杂志《J. Eng. Mech.》。.8. 研究了长波越过两个矩形防波堤产生的布拉格共振反射，获得了长波方程的解析解。论文已被国际专业学术期刊《J. Marine Science Tech.》接受发表。.9. 研究了长波越过带冲刷坑水下圆柱产生的散射现象，获得了长波方程的解析解。论文已被《J. Marine Science Tech.》接受发表。.这些工作具有很强的原创性，丰富了人们对水波传播现象的理论认识，也揭示了水波传播的一些规律，并可用于对数值模型的验证。