黎曼流形的曲率与拓扑关系研究

The author uses some ideas in Bochner technique developped by himself to investigate the relations of curvature and topology, also the relations of curvature and complex structures. The studying of relations of curvature and topology of Riemannian manifolds is one of the most important topics in Riemannian geometry. One of the strong tools is Bochner technique. The author considers the combination of Bochner formulas for some harmonic 2-forms and obtains a Bochner type formula which the curved term contains only sectional curvature. We use this formula to study the topological classification of compact 4-manifolds of positive sectional curvature, especially the Hopf conjecture. Determining whether a compact almost complex manifold has a complex structure is a fundamental problem in geometry. The author considers the acting of Laplacian on almost complex structures and obtains a sufficient condition to integrablity for almost complex structures related to curvature. We use this formula to study the existence of complex structures on higer dimentional almost complex structure manifolds, especially the existence of complex structures on 6-sphere.

本项目主要是用申请人发展的一些Bochner技巧中的方法来研究黎曼流形的曲率与拓扑结构的关系，以及曲率与复结构的关系。 黎曼流形的曲率与拓扑关系的研究是黎曼几何中最重要的课题之一。其中一个强有力的工具是Bochner技巧。 申请人通过考虑某些调和2形式的Bochner公式的组合形式，得到了一个曲率项只含截曲率的Bochner型公式。并用此公式来研究紧致四维正截面曲率流形的拓扑分类问题，特别是Hopf猜想。 决定一个紧致近复流形是否存在复结构在几何中是一具有基本重要性的问题。申请人考虑切丛值拉普拉斯算子作用在近复结构上，得到了一个与曲率相关的近复结构可积的充分条件。并用这个公式来研究高维近复流形上复结构存在性问题，特别是六维球面上复结构存在性问题。

本项目主要涉及两个方面，一个是黎曼流形的曲率与拓扑关系研究， 这是黎曼几何中的中心课题之一；另一个是用曲率来刻画近复结构的可积性，主要目的是寻找流形上存在复结构的条件。在第一方面，我们取得的成果主要是，用Ricci曲率给出第二Betti数消失一个条件，定义了非紧流形上与单射半径相关的新不变量，用其来刻画流形的拓扑，还有关于覆盖型的球面定理，正在合作研究中。在第二方面，给出了申请人所发展的关于近复结构的Bochner公式的各种有趣应用，包括与平衡度量的联系。