图的正则覆盖和正则嵌入中若干问题研究

This project will focus on two hot topics in algebraic graph theory: regular covers and regular embeddings of graphs. (1) As a technical tool, regular covers play an important role in the study of graphs and maps with high symmetry. We will use regular covers to construct and classify some families of 2-arc transitive graphs, 2-geodesic transitive graphs and semisymmtric graphs, under the certain conditions. Based on our investigations, we shall pay attention on the inner connection between cover technics and group theory so that we may conclude some general philosophies. (2) The theory of regular maps (regular embeddings of graphs into closed surface) is an intersecting subject related to finite group theory, algebraic graph theory and topological graph theory, which possesses important research values. We shall do some research on the classification of regular maps, the theory of regular Cayley maps, the skew-morphisms of finite groups (which play an important role in the theory of regular Cayley maps) and the covering problems of regular Cayley maps.

本项目拟集中研究代数图论中的两个热点问题：图的正则覆盖和正则嵌入。 (1) 作为一种技术性工具，正则覆盖在具有高对称性的图和地图的研究中扮演着重要的角色。我们将用正则覆盖来构造和分类一些特定的2-弧传递图、2-测地线传递图以及半对称图。在具体问题研究的基础上，将特别关注其中起着决定作用的覆盖技术和群论的内在联系，归纳出一些一般性的结论。 (2) 正则地图(即图在紧致曲面上的正则嵌入)理论属于有限群论、代数图论和拓扑图论的交叉领域，有着重要的研究价值。我们将研究正则地图的分类问题，正则Cayley地图理论，研究在正则Cayley地图中有着重要应用的有限群的skew-morphism理论，还将研究正则Cayley地图的覆盖问题。

本项目主要研究代数图论中的两个重要问题：图的正则覆盖和正则嵌入。具体地，研究给定基图为K_(n,n)、覆盖变换群为循环群的2-弧传递图的分类,给出了射影几何中点超平面非关联图的循环覆盖的分类；分类了一些给定阶数的正则超地图和素数度的幂零超地图，研究了斜态射方面的若干问题，分类了pq阶的Möbius正则地图的分类；证明了pq阶点传递图有Hamilton 圈；决定了素数阶有限域上４次方程在本原元处取平凡元的问题；证明了有限单群PSL(2,q)的每一个本原表示都满足Burness-Giudici猜想；给出了判断一个有限群的子群是否为子群完美码的一些充要条件；证明了Tutte的3-流猜想对一些Cayley图成立等。. 本项目探讨了有限群在组合结构上的作用，通过群作用来研究相关组合结构的对称性，从而解决组合结构中的一些重要问题。在方法上把现代群论方法特别是置换群的理论、组合方法和拓朴图论等工具结合起来，发现它们的内在联系，从而得到更深刻的结果。经过4年来项目组成员的努力，取得了一系列的较好成果,已完成16篇论文，已经有9篇发表在一些SCI期刊上(其中一篇接受)， 所有这1６篇论文均标注本项目资助。在本项目的资助下，课题组成员培养博士生4人(已毕业2人),硕士12人(已毕业5人); 举办国际学术研讨会1次；出国参加国际会议和学术交流4人次；邀请其他专家作报告10次；参加国内会议和合作20人次。