对称图的亚循环正则覆盖

Characterizing regular covers of symmetric graphs is one of the fundamental topics in the field of algebraic graph theory. This project proposes to study metacyclic regular covers of certain classes of symmetric graphs. In precise, we mainly study the following important questions: (1) Characterizing arc transitive metacyclic regular covers of the prime valent symmetric graphs of order twice a prime; (2) Studying arc transitive metacyclic regular covers of the complete graphs ; (3) Studying arc transitive metacyclic regular covers of the arc regular Cayley graphs of dihedral groups; (4) Characterizing arc transitive sylow-metacyclic regular covers of symmetric graphs.. The above researches will generalize a series of previous results in the literature, investigating new methods for studying nonabelian regular covers of symmetric graphs, and find new interesting families of symmetric graphs. The researches can be also used in the study of many other questions.

刻画对称图的正则覆盖是代数图论的根本性课题之一。本项目计划研究若干对称图类的亚循环正则覆盖。具体地，我们主要研究下述重要问题：（1）刻画二倍素数阶素数度对称图的弧传递亚循环正则覆盖；（2）研究完全图的弧传递亚循环正则覆盖；（3）研究二面体群上的弧正则Cayley图的亚循环正则覆盖；（4）刻画对称图的弧传递 Sylow-亚循环正则覆盖。. 上述研究有望推广系列已知的结果，探索研究对称图非交换正则覆盖的新方法，发现新的有趣图类，并应用到许多其它问题的研究中。

本项目的研究对象主要是对称图的循环以及亚循环正则覆盖。主要研究内容是刻画了代数图论中的下述重要问题：（1）给出了二倍素数阶素数度对称图的弧传递部分亚循环正则覆盖的分类及系列刻画，比如2p阶完全二部图，Petersen图，以及2p阶3度二面体群上的Cayley图，进而给出了二倍素数阶素数度对称图的弧传递亚循环正则覆盖的分类刻画；（2）研究了素数幂阶完全图的边传递循环正则覆盖，得到了素数幂阶完全图边传递循环正则覆盖的分类刻画，发现了两个新的图类。（3）分类了素数幂阶边本原图，进一步得到了素数幂阶边本原正则图是2-弧传递图。这些成果的取得，充分利用了有限群及置换群理论的若干技巧，将对代数图论中图的覆盖研究起到一定的促进作用，可以将得到的结果应用到许多其它问题的研究中。