Toeplitz 算子的复对称性

The analytic function spaces and the corresponding Toeplitz operators are the important topics in functional analysis. Recently, the complex symmetric operators on Hilbert space have been received extensively attention because of the deep connections with function theory, matrix analysis and quantum mechanics. Moreover, many operators including normal operators, truncated Toeplitz operators on model spaces are complex symmetric operators. This project is devoted to study the interplay between complex symmetric operators and Toeplitz operators on analytic function spaces. We will focus on: 1.Since every complex symmetric operator depends on the existence of the conjugation, we introduce a large number of conjugations on the classical Hardy space and Bergman space. Then we characterize the symbols of complex symmetric Toeplitz operators with these conjugations. 2.By the Berezin transform of Toeplitz operators on Hardy space and Bergman space, the difference between the complex symmetric Toeplitz operators on two classical reproducing Hilbert spaces are given. 3.We decompose a conjugation into a well-known fixed conjugation and its intertwining unitary. The unitary operators are used to distinguish the conjugations. In addition, the complex symmetric problem of Toeplitz operator is related to the unitarily equivalent problem of Toeplitz operators. Therefore, using the properties of Toeplitz operator, the complex symmetric Toeplitz operators are depended on a well-known fixed conjugation.

Toeplitz算子理论是泛函分析的核心课题之一。近年来，Hilbert空间上的复对称算子因为与函数论、矩阵分析、量子力学等各个理论分支的深刻联系而受到广泛的关注，并且它包含了许多人们所熟知的算子，如正规算子、有界截断Toeplitz算子等。本项目拟研究Toeplitz算子的复对称问题。主要包括：1.由于复对称算子依赖于共轭算子的存在，因此以Hardy空间和Bergman空间为例，构造其上大量的共轭算子。通过这些共轭算子刻画复对称Toeplitz算子的符号函数。2.利用Hardy空间和Bergman空间上有界线性算子的Berezin变换，给出两个再生Hilbert空间上复对称Toeplitz算子的差异。3.我们将共轭算子分解成一个熟知的固定的共轭算子和与其缠绕的酉算子的乘积，再利用酉算子来区分共轭算子。继而将Toeplitz算子的复对称性问题与Toeplitz算子之间的酉等价问题联系起来。

泛函分析的核心课题之一是解析函数空间及其上的Toeplitz算子理论。而Hilbert空间上的复对称算子与函数论、矩阵分析、量子力学等各个理论分支的深刻联系受到了广泛的关注。为了更好的了解算子理论的应用，复对称算子的研究成为我们项目的动机之一。同时复对称算子类非常庞大，如正规算子、截断Toeplitz算子等。2014年郭坤宇教授和朱森教授首次提出了一个问题，即Hardy空间上Toeplitz算子什么时候是复对称的。这是也是我们项目的动机来源之一。首先项目按照计划构造了一类Hardy空间上的共轭算子。在这类共轭算子下我们发现Toeplitz算子关于此类共轭算子是复对称的完整刻画。但是和项目申请时猜测的结果有些偏差，但是是更好的偏差。我们发现更奇特的数列结构，或者说更复杂的数列结构。为了更清楚的阐述此结构，我们定义了一个新的数列结构，我们称之为等比对儿。这也为下一步新的构造产生了兴趣。其次项目主持人在之前参与的项目中研究截断Toeplitz算子。这一类算子有着一致的复对称性。也就是在相同的共轭算子下，所有的截断Toeplitz算子都是复对称的。这是我们在Hardy空间和Bergman空间上见不到的。因此，我们回头去重新研究截断Toeplitz算子，重点是模型空间上的共轭算子还能对截断Toeplitz算子起到怎样的影响，甚至可以说是支配。因此我们发现通过截断Toeplitz算子的复对称性我们得到了一系列截断Toeplitz算子的可逆性和Fredholm性。同时反复利用截断Toeplitz算子的复对称性得到了截断Toeplitz算子的核空间上的若干代数性质和截断Toeplitz算子的亏格算子的若干代数性质。这说明复对称性可以支配和影响这类算子的很多代数性质。通过这个结构我们将重新审视Hardy空间和Bergman空间上Toeplitz算子的这些代数性质。这是一个很有趣的想法。与此同时，我们又利用复对称性去研究新的一类算子，近似截断Hankel算子。阐述了近似截断Hankel算子的若干代数性质。最后，项目着手共轭算子的统一研究，找到一种共轭算子最本质的性质去分类共轭算子，这样可以为Toeplitz算子的复对称性给出更直观的刻画。