奇点理论，几何流与典则度量

In this project, we shall study the algebraic singularities in Kähler geometry and canonical metrics, as well as formation of singularities in geometric analysis. We shall focus on the following three aspects: singularity exponents and their connection with the existence of canonical metrics; formation of singularities for J-flow with unstable initial data; and the classification of shrinking Ricci solitons and shrinking Kähler-Ricci solitons, which are the singularity models of the Ricci flow.

在本项目中，我们主要研究凯勒几何中的代数奇点与典则度量,以及几何分析中的一些奇性形成问题。我们关注三个方面的研究:奇点指数及其与典则度量存在性之间的联系; 不稳定初值J-流的奇性分析; 以及作为里奇流奇点形成模型的收缩里奇孤立子和收缩凯勒－里奇孤立子的分类。

在本项目中，我们主要研究凯勒几何中的代数奇点与典则度量,以及几何分析中的一些奇性形成问题。我们研究了三个方面的内容:奇点指数与典则度量; 几何流的奇性分析; 以及收缩里奇孤立子的分类和性质。 . 我们得到如下进展：. 对于一般的几何流，我们与人合作发现了一个张量场高阶协变导数的“有界性蕴含收敛”原理。当存在好的截断函数时，即使发生塌缩型奇性，也我们可以利用张量场的0阶收敛性和高阶协变导数的有界性得到高阶协变导数的收敛性。利用这一工具，我们进一步与人合作研究了特殊的典则度量——卡拉比-丘成桐度量的塌缩极限，特别是改进了此前格罗斯-威尔逊关于K3曲面上卡拉比-丘成桐度量塌缩行为的著名工作。. 在此前的项目中，我们与人合作研究了拟射影流形上有限体积凯勒-爱因斯坦度量无穷远处的渐近展开。在本项目中，我们进一步分析了展开的第一个非局部项的系数，算出了表达式，并研究了对背景度量的依赖性。. 我们与意大利数学家合作，利用奇点指数、J-流和具有有限能量位势空间的理论研究了常数量曲率凯勒流形的有限叶伽罗瓦分歧覆盖上K-能量泛函的强制性，从而证明了一大类凯勒流形上常数量曲率度量的存在性。该工作在审稿中。