复几何中的典则度量和Ricci流

This research project is about the study of canonical metrics on complex manifolds and Ricci flow. The study of canonical metrics on complex manifolds is one of hot and core topics in complex geometry. Ricci flow is a big hot topic in geometric analysis, and is also closely related to the study of canonical metrics. It is a very effective tool in the study of Einstein metrics and Ricci solitons. In our project, we will mainly study the following five topics along the project of canonical metrics and Ricci flow: 1) the existence problem of canonical metrics on toric manifolds; 2) Hamilton-Tian's conjeture in Kaehler-Ricci flow; 3) construction of Kaehler-Ricci solitons on complete manifolds; 4) geometry of Kaehler-Ricci flow on a complete manifold and Yau's uniformation conjecture; 5) the stability problem of Kaehler-Ricci solitons.

本项目是有关复流形上典则度量和Ricci流的研究。复流形上的典则度量是复几何研究的一个核心内容和热点。 Ricci流是当今几何分析的一大热点，并且与典则度量的研究密切相关， 是研究Einstein度量和Ricci孤立子非常有效的工具。围绕典则度量和Ricci流，我们将集中研究以下五个方面的课题，即环流形上典则度量的存在性，有关Kaehler-Ricci 流的Hamilton-田刚猜测，完备流形上 Kaehler-Ricci 孤立子的构造，完备流形上Kaehler-Ricci 流的几何与丘成桐的一致化猜测， 及其Kaehler-Ricci 孤立子的稳定性问题。

本项目是有关里奇流和复几何中典则度量的研究。里奇流是近十多年微分几何和几何分析的研究热点课题。自从Hamilton和Perelman发表开创性工作以来，一大批杰出数学家，如Huiskin, Schoen, Willking, Brendle, 田刚等在相关方面取得引人注目的成就。 国内朱熹平，陈兵龙等人也有众多出色的工作。随着正曲率算子球定理,拼挤球定理的解决, 迷向正曲率几何的深入研究, 极大地推动了微分几何的发展，并且涌现出新的有待解决的问题。 其中里奇流的奇性分析和里奇孤立子的分类是核心问题之一。. 复几何中典则度量研究，近几年来取得突破性进展。 特别是田刚有关凯勒-爱因斯坦度量存在性的丘成桐－田刚－Donaldson猜测的解决，凯勒几何的研究取得空前繁荣，涌出一大批丰富的成果和新课题。其中田刚的K-稳定性理论与分析中部分先验估计之间如何联系是研究典则度量存在性的核心问题之一.. 我们在过去四年项目研究期间，围绕相关核心问题， 取得了丰硕的成果，完全达到了项目研究计划。四年来共发表共发表论文8篇,1 篇录用, 6篇arxiv 上预印本。取得的进展包括：一．Bakry-Emery 里奇曲率有下界的黎曼流形族的紧化理论。这个工作可作为著名的Cheeger-Colding有关里奇曲率有下界的黎曼流形的紧性理论的推广。 作为应用，我们证明了有关几乎凯勒-里奇孤立子情形的田刚的部分C^0猜测。二． 具有环流形结构的流形上典则度量的研究。1.利用Riemann-Roch定理，把田刚－朱小华在2002年引进的几何不变量推广到代数几何形变的情形。2.我们研究了可约李群紧化空间上的K-能量的逆紧性，给出了此类流形上存在凯勒-爱因斯坦度量或存在凯勒里奇孤立子的一个充分必要条件。 三. 关于完备流形上里奇孤立子的刚性研究. 我们证明了具有非负双全纯截面曲率的完备非塌缩稳态的凯勒里奇孤立子一定是平面。这个结果可以看作Perelman的有关极大体积具有非负曲率算子稳态的里奇孤立子刚性结果和Ni Lei的有关极大体积具有非负双全纯截面曲率稳态的凯勒里奇孤立子刚性结果的推广。特别部分地解决了 H. Cao在二十年之前提出的一个猜测。