广义逆的表示、扰动和光滑分析

广义逆是被广泛研究的一类数学对象，它的理论和方法已渗透到许多不同的学科领域。在广义逆自身的理论研究方面，如分块算子矩阵的加权Moore-Penrose逆的表示，算子Drazin逆的表示和扰动，以及精确Drazin指标的计算等方面，亟待研究方法的创新。在广义逆的应用方面，最近Bürgisser等通过运用广义逆的光滑分析等工具，推进了Smale第17问题的解决进程，取得了引人关注的结果（即将发表在Annals of Mathematics上）。.本项目将用Hilbert C*-模、Banach代数和C*-代数等算子理论与算子代数方面的知识，以及数值代数、概率论和微分几何等方面的相关知识，结合数值计算，研究Moore-Penrose逆和Drazin逆的表示和扰动这两个广义逆自身研究的核心课题，以及广义逆在奇异线性系统的迭代求解、条件数的光滑分析这两个前沿领域的应用。

受国家自然科学基金委的资助，按研究计划主要对Moore-Penrose逆和Drazin逆的表示和扰动这两个广义逆核心研究课题, 奇异线性系统的迭代求解以及条件数的光滑分析及其相关问题进行了研究。近四年来，我们用算子理论与算子代数等方面的知识，在算子矩阵的M-P逆和加权M-P逆研究方面，解决了对一般意义下的幂等矩阵的线性组合的遗传性质的刻画，得到了加权分块算子矩阵的M-P逆的表示，通过构造代数交换图，得到了加权M-P逆表示方面的一些新的结果。在算子Drazin逆的扰动分析，扰动算子的Drazin逆的表示及范数估计等课题的研究中也都取得了较好的进展。我们还通过运用算子的稳定扰动理论，给出了几类2X2分块算子矩阵的Drazin逆的精确指标的计算公式，得到了一些有特色的研究结果。我们在Hilbert空间的框架下,对2X2块矩阵可逆性，广义可逆性，正性和值域之间关系做了系统的研究。对于反三角分块算子矩阵的Drazin逆的表示，给出了群逆存在的充要条件，当该充要条件满足一定条件时，给出了群逆的具体表达式。借助算子谱性质与投影算子的紧密联系，在算子分块矩阵的广义逆扰动问题，算子方程的通解，扰动算子的Drazin逆的表示及范数估计等课题的研究中作了系统的分析，得到了较为深入的结果，部分结果发表或待发表于国内外著名数学学术期刊，目前发表论文22篇，其中SCI 期刊21 篇。