算子广义逆扰动与表示理论及其应用

The theory of generalized inverse of operators is one very active branch in functional analysis and has been widely used in nonlinear analysis, numerical analysis, optimal control theory and mathematics statistics, etc. In this project, we shall use the idea and method in analysis, geometry and computation to study the perturbation and expression of generalized inverse. The project includes: 1) the perturbation and expression of inner inverse, group inverse, generalized Drazin inverse and unbounded generalized inverse; 2) the local conjugacy problem in nonlinear analysis and its applications to nonlinear equations; 3) the asymptotical behavior of solutions for singularly perturbed differential equations; 4) the expression, structure and perturbation of solutions for the Yang-Baxter equation, the Hyers-Ulam stability in Banach spaces and the Hyers-Ulam stability of Frobenius-Perron operator equation. The expected results of this project not only promote the improvement and development of the generalized inverse theory, but also enrich and expand applications research fields of generalized inverse, such as nonlinear analysis, differential equation, operator equation and computational ergodic theory.

算子广义逆理论是泛函分析中非常活跃的研究方向之一，已被广泛应用于非线性分析、数值分析、最优控制和数理统计等领域。本项目拟综合分析、几何和计算等学科的思想方法研究广义逆的扰动与表示及其应用，具体包括: 1)内逆、群逆、广义Drazin逆及无界广义逆的扰动与表示; 2)非线性分析中的局部共轭问题及其对非线性方程的应用; 3)奇异扰动抽象微分方程解的渐近行为; 4)Yang-Baxter方程解的表示、结构及扰动问题,Banach空间中的Hyers-Ulam稳定性和Frobenius-Perron算子方程的Hyers-Ulam稳定性。本项目的预期成果不仅能促进广义逆理论本身的完善和发展,而且能丰富和扩展广义逆在非线性分析、微分方程、算子方程和计算遍历理论等领域的应用研究。

广义逆理论是泛函分析中非常活跃的研究方向之一，其在非线性分析、算子方程、微分方程和最优控制理论等领域中具有广泛而重要的应用。本项目综合运用分析、几何和计算等学科的思想方法，研究广义逆的扰动、表示及其应用，取得了一系列成果。 . 利用正则分解、拓扑直和分解和闭子空间距离等方法，系统研究了内逆、外逆、Moore-Penrose逆、群逆、核逆和Drazin逆等广义逆的扰动与表示，给出了一般表示及稳定扰动下的表示，特别是内逆的稳定扰动特征和群逆关于任一广义逆的简单表示；广义逆的连续轨道；共轭意义下Nashed条件与稳定扰动的等价性；连续性和一致有界的等价性；代数广义逆的可加性与表示等。这些成果推广和改进了许多已知结果，丰富了广义逆理论。. 利用Sylvester方程理论、矩阵分块、谱扰动和群逆等技巧，对逆或广义逆等于自身的矩阵或幂零矩阵研究了Yang-Baxter方程，给出了交换解和一般解的表达式；对一类矩阵, 证明了Yang-Baxter方程所有解可以划分为基于相似关系的等价类，该结果对求解其它类矩阵的Yang-Baxter方程提供了新思路。. 利用矩阵范数等技巧，给出了计算与逐片C^2和单位区间拉伸变换相关的 Frobenius-Perron 算子稳定密度函数的广义投影方法的统一收敛速度分析。同时我们对Lasota-Yorke类逐段拉伸区间变换的投影方法进行了统一的收敛性分析，二次样条函数投影方法可作为其特例。. 利用近似方法和不动点定理研究了一类拉格朗日问题的最优控制问题，证明了相应的半线性系统是可解的，并给出了两种可逼近最优解的极小化序列；利用Meyer近似方法在无Lipschitz连续性条件下，研究了Riemann-Liouville分数阶系统的时间最优控制问题，推广和改进了半群和预解式的相关经典结果；研究了一类具黎曼Liouville分数阶导数发展系统的逼近可控性，证明了恰当解的存在唯一性与逼近可控性；讨论了分数预解的对偶理论，得到了具有 Riemann- Liouville右导数的倒向分数控制系统的有限逼近控制；研究了与参数h相关的预解族的一致稳定性，证明了预解族的GGP型定理和弱L^p稳定性可蕴涵一致稳定性，从而推广了与参数h相关的半群族以及与参数无关的预解族的相关理论。