结构张量特征计算及其在张量数据分析中的应用研究

High order tensor computation and tensor-value data processing problems are often involved in the research of medical imaging or image processing. This project will focus on computing eigenvalue of structured tensor: model, algorithms and its applications in dynamic imaging/image analysis. In particular, for some special structured tensor, we will study on different models and algorithms for tensor eigenvalue complementarity problem (TEiCP)/tensor complementarity problem (TCP). By combining polynomial optimization with nonlinear complementarity theory, and using the variational analysis techniques, we will study on the generalized eigenvale problem of tensor, the Pareto eigenvalue problem, and the tensor (eigenvalue) complementarity problem. We will develop some effective numerical methods for TEiCP/TCP, including derivative-free methods, adaptive gradient methods, Newton method, and will establish their global or local convergence results. We will study properties of solution set of TCP for some special tensor, and explore connection between TCP and spectral theory of tensor. Furthermore, we will disscuss some topics on adaptive structure tensor spatio-temporal total variation with applications in MRI/CT dynamic imaging/image analysis.

在医学影像分析与图像处理过程中经常会涉及高阶张量结构数据模型，需要对张量进行特征计算与分析。本项目选题结构张量特征计算：模型、算法及其应用研究，结合多项式优化与非线性互补理论等多个角度深入研究高阶张量（广义）特征值计算、Pareto特征值计算、张量特征值互补问题和张量互补问题的理论与算法，包括直接法、一阶梯度法和牛顿法等；针对特殊结构张量，研究张量互补问题解集的性质，探讨张量互补问题与张量谱之间的联系；研究高阶结构张量旋转不变量在图像分析与动态医学成像张量结构数据处理与分析中的应用，按照“问题驱动的研究”思路，针对动态MRI/CT 医学影像分析与重建问题，我们拟研究基于高阶几何结构张量特征不变量的时-空全变分正则化重建模型与算法。

本项目开展了结构张量特征计算：模型、算法及其应用研究方面的研究，结合多项式优化与非线性互补理论等多个角度深入研究高阶张量（广义）特征值计算、Pareto特征值计算、张量特征值互补问题和张量互补问题的理论与算法，包括一阶梯度法和半光滑牛顿法等；针对特殊结构张量，研究张量互补问题解集的性质，探讨张量互补问题与张量谱之间的联系；对张量特征方程的计算与高阶马尔科夫链模型、算法及其应用也进行了一定的研究，在高阶幂法的基础上结合动量外推和二次外推技术，提出了张量特征计算的快速算法。结合运动数据捕获、互联网流量数据分析以及动态MRI/CT医学影像等具体的问题，提出了一些新的张量填充与修复重建的优化模型与有效算法。