复张量优化及其在量子纠缠计算中的应用

An important problem in quantum information science is to detect whether a given state is entangled, and if so, how entangled it is. However, the quantum entanglement problem is the optimization problem of complex tensors. Hence，this program will research on these issues about the optimization theory of complex tensors and the quantum entanglement computing of quantum states. In this program, we will study the following three parts: (1) theories of eigenpairs and optimization methods of complex tensors; (2) Hermitian tensor’s algebra theory and its related optimization calculation; (3) their application in the computation of quantum entanglement. It will propose effective methods and base theories for the computation of eigenvalues of complex tensors, and propose mathematic theories and technical supports for the research of quantum computation.

如何判断一个量子态是否为纠缠态并计算其纠缠值是量子信息科学的一个重要研究课题，而量子态的纠缠值问题又是复张量的优化问题。因此，本项目拟开展复张量的优化理论和量子纠缠值计算等相关问题的研究。研究内容包括：（1）关于复张量特征对理论与优化算法研究，解决特征向量的代数结构和最大特征值的有效计算问题；（2）关于Hermitian张量代数理论与优化计算研究，拟建立Hermitian张量的代数理论，解决Hermitian张量的特征值计算、秩1分解、以及可分Hermitian张量的最佳逼近问题；（3）关于多体量子态的量子纠缠值计算研究，利用复张量理论与算法解决多体量子态(包括纯态和混合态)是否为纠缠态的判别和量子纠缠值的计算问题。本项目的研究进一步完善复张量优化的相关理论与算法，也将为量子信息科学研究提供数学理论和技术支撑。

摘要：针对复张量的优化问题和量子纠缠值的计算问题，项目组成员分别从复张量特征对理论与优化算法；Hermitian张量代数理论与优化计算；复张量与Hermitian张量理论在量子纠缠中的应用等三个方面开展研究，圆满完成项目计划任务。取得的主要研究成果包括：提出复张量U特征值计算的多项式优化算法和迭代算法，证明了算法的有效性和收敛性，可实现对纯态量子态纠缠值的计算；提出非对称复张量U特征值计算的迭代算法，证明了算法的有效性和收敛性，能够实现对纯态量子态纠缠值的计算；获得Hermitian张量正定性理论、可分性判别和分解的多项式优化算法；得到了对称厄米特张量可对称厄米特分解的一个充要条件，若将对称厄米特可分解张量空间视为实数域上的线性空间，得到了它的维数公式和一组基，如果张量是对称厄米特可分解的，则可以利用其对称厄米特基得到其对称厄米特分解，对称厄米分解条件可以用来判断对称量子混合态的对称可分性；开展Hermitian张量低秩逼近与分解的数值算法研究，建立低秩逼近的优化模型、推导目标函数的梯度公式、设计数值计算的BFGS算法、证明了算法的正确性和收敛性，并进行了相应的数值计算；建立了部分对称张量与齐次多项式的等价关系，证明了每个部分对称张量都有一个部分对称CP分解，即张量的保结构分解，并给出了三种半定松弛算法；整理复张量和Hermitian张量的理论、优化算法、及其在量子信息中的应用等研究成果，撰写学术专著《复张量优化及其在量子信息中的应用》（科学出版社）。通过四年的研究工作，课题组获得山东省自然科学三等奖1次，出版学术专著1部，在MOR等国际国内顶级期刊发表SCI学术论文11篇。同时，课题组积极开展研讨和调研活动，参加线上和线下国内学术会议和调研40余次，邀请国内外相关专家线上和线下学术交流20人次，举办学术研讨会议2次，举办暑期学校1次。培养博士生2人、硕士生5人、博士后2人。培养课题组青年教师获得国家自然科学基金青年项目2项、省青年基金3项、博士后基金1项。