张量特征值的定位及其应用研究

The location (i.e., distribution, estimation and calculation) of the eigenvalues for tensors and its applications will be researched by using the method of combining theoretical study with the numerical simulation. Firstly, we will systematically study all kinds of the eigenvalues for tensors (such as H-eigenvalue, Z-eigenvalue, N-eigenvalue, E-eigenvalue, D-eigenvalue, M-eigenvalue and B-eigenvalue, etc.) and the relationships and differences between them. And on this basis, the location problems of several important eigenvalues will be studied for general tensors in order to get as accurate as possible eigenvalue inclusion theorems and numerical property of these eigenvalues. Then, these results will be applied to research the location (i.e., distribution, estimation and calculation) of the eigenvalues for several kinds of important special tensors (such as nonnegative tensor, supersymmetry tensor, M - tensor and H - tensor, etc.), and expect to obtain some practical approximation algorithms of the eigenvalues for these important tensors. Finally, these properties and algorithms will be applied to identify the positive definiteness of even order homogeneous multivariate polynomials, and expect to get some practical algorithms for testing the positive definiteness of an even order homogeneous multivariate polynomial. In this project, we expect to publish more than 10 research papers, including more than 6 papers in SCI journals.

本项目拟应用理论研究与数值模拟相结合的方法，研究张量特征值定位（即分布、估计和计算）的相关理论和应用问题。首先对高阶张量的各类特征值（如H-特征值、Z-特征值、N-特征值、E-特征值、D-特征值、M-特征值和B-特征值等）以及它们之间的联系与区别进行深入系统研究，并在此基础上，研究一般高阶张量的几类重要特征值的分布问题，以期得到这些特征值的尽可能精确的包含区域和数值特征。然后将这些结果应用于几类重要的特殊张量（如非负张量、超对称张量、M-张量和H-张量等）的特征值的分布、估计和计算研究，在完善理论的基础上提供这些张量特征值的一些实用逼近算法。最后应用这些性质和算法研究高阶偶次齐次多元多项式正定性的判定问题，期望得到偶次齐次多元多项式正定性的一些新的适用判定算法。 本项目预期在国内外专业刊物上发表10篇以上较高水平的研究论文，其中SCI摘引刊物上发表6篇以上。

本项目总体上按照项目计划书的计划进行研究，完成了项目计划书所定的研究内容，达到了预期的目标。本项目主要研究了如下三方面问题。第一，对具有广泛应用背景的张量H-特征值和张量Z-特征值的定位和计算问题进行了研究，得到了一些新的张量特征值包含集和某些特殊张量（如非负张量（矩阵）、随机张量（矩阵）等）的特征值或谱半径的估计式或算法；第二，几类重要的结构张量（如B-张量、MB-张量、SDB-张量、M-张量和H-张量等）的研究，在对这些特殊张量的结构、性质等理论问题研究的基础上，给出了这些张量的一些可算法化的充分条件，得到了它们的一些实用判定算法；第三，张量特征值包含集和特征值估计的应用研究，项目组将关于张量特征值的理论结果应用于高阶齐次多元多项式正定性的判定、补问题的误差界的估计和数字图像信息处理的研究，得到了偶次齐次多元多项式正定性的一些新的实用判定算法、补问题的误差界的一些更精确的估计式和数字图像特征提取的新算法。这些研究结果在扩展和完善张量特征值理论的同时，为多元多项式正定性的判定、补问题的误差界的估计和数字图像信息处理等问题提供了计算机算法。在该基金项目资助下，项目组成员以第一作者或者通信作者发表论文50余篇，被SCI检索40余篇，其中中科院分区二区期刊论文12篇。项目的研究成果已得到张量理论和应用研究的国内外同行专家的关注和引用，有13篇论文的主要结果被L. Qi, Z. Luo著，世界著名科学著作出版社SIAM (工业和应用数学学会) 最近出版的专著《Tensor analysis: Spectral Theory and Special Tensors》（Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics，2017）摘录。