完备流形上几何流若干奇异性及相关问题的研究

As the continuations study on last NSF grant, we will mainly keep on the study of the singularities behavior of the solutions and related geometric analysis problems on several geometrical flows belows:. On Ricci flow，based on the study of the space time geometry and the \Lambda-positive invariancde of Riemannian curvature operator which has been found to be viewed as the generalization of the 2-positive invariance of Riemannian curvature operator before, we will first keep on the study of the generalization of Hamilton's differential Harnack inequality on complete manifolds and its applications on the related topics including the prblems on Ricci soliton and the Bakry-Emery Ricci curvature geometry related. Seconly we will study the singularity behavior of solutions blowing up in finite time and the above problems under the conditions on the integral eneergy on curvatures.. On the Cornformal Ricci flow on complete manifolds, we will keep on the deep study of problems including the uniqueness, singularity behavior of solutions blowing up in finite time，differential Harnack inequality and the entropy etc. related.

作为前面项目的后续，本项目将继续在以往研究基础上对于完备流形上包括Ricci及共形Ricci曲率流在内等几何发展方程开展如下关于解的奇异性及相关几何分析问题的研究：. 在Ricci流方面，首先将在时空几何观点下，基于前一个项目中关于2-正黎曼曲率算子不变性的推广即\lambda-正黎曼曲率算子的几何不变性研究的发现，寻求关于Hamilton微分Harnack不等式的改进，进而探索与此不等式估计相对应的包括关于关于Ricci孤立子及Bakry-Emery Ricci曲率的几何与分析性质等问题研究的推广与应用。其次，将研究在一定曲率积分条件下关于此流的有限时间爆破的奇异性及上述相关问题的研究与推广。. 在关于共形Ricci曲率流（又称CRF）方面将持续深入开展关于完备流形上包括解的唯一性、有限时间的奇异性、微分Harnack估计及熵等问题的几何分析问题等研究。

本课题组主要在包括诸如关于黎曼流形上包括Ricci曲率流、共形Ricci曲率流（CRF）及其他几何流和黎曼流形的几何分析方面开展了研究，所获得的研究结果主要包括如下几方面: 首先，在关于Ricci曲率流问题研究方面， 我们已初步完成了关于Ricci曲率流的微分Harnack量研究，初步得到了在更为一般的初始黎曼曲率算子的凸性假设条件下的微分Harnack不等式的推广与应用，同时还研究了收缩Breather为收缩梯度孤立子的新的证明。其次，在关于共形曲率流（CRF）的方面, 我们得到了关于此方程在包括关于渐进双曲流形上解的短时存在性、黎曼曲率的一阶协变微分的局部有界性估计及关于此流下关于共轭热方程正解的某些能量的单调性等相关几何分析问题的研究结果。再次， 在关于其他几何流的研究方面，主要围绕包括包括扩展曲率流、Ricci调和流等分别开展了包括热核积分有界性估计、小能量正则性估计及在有限时间内数量曲率爆破现象等解的奇异性问题的研究。最后，在关于黎曼流形上相关的几何分析研究方面，我们还研究了关于积分Bakry–Émery Ricci曲率一定有界性条件下的包括平均曲率及体积、特征值等方面的估计，得出了在此条件下的包括加权的体积比较定理及关于流形的直径估计与第一基本群的有限生成性等结果。