拟Hermitian流形上的若干几何分析问题

This project will study some geometric problems on pseudo-Hermitian manifolds, such as existence of pseudo-harmonic maps and compactness of pseudo-Hermitian manifolds. One natural generalization of harmonic maps on pseudo-Hermitian manifolds is the pseudo-harmonic map, which is an important subelliptic differential equations and provides some important tools to explore pseudo-Hermitian geometry. We will investigate the existences of pseudo-harmonic maps from both complete noncompact pseudo-Hermitian manifolds and compact pseudo-Hermitian manifolds with boundary. Some geometric applications will be studied. The compactness of various geometric structures is one of important problems in geometric analysis. In order to establish some classification and CR uniformization theorems, this project will explore the compactness of general pseudo-Hermitian manifolds and some special ones, such as the compactness of pseudo-Einstein manifolds. For these purposes, we will study CR Sobolev inequality, sub-Laplacian comparison theorem of Carnot-Caratheodory distance and heat kernel estimates.

本项目将探讨拟Hermitian流形上的若干几何分析问题，涉及拟调和映射的存在性和拟Hermitian流形的紧性问题等。拟调和映照是调和映照在拟Hermitian流形上的自然推广，它不仅提供了一种重要的次椭圆偏微分方程，而且是研究拟Hermitian几何结构的重要工具。我们将探讨紧致带边和完备非紧拟Hermitian流形上拟调和映照的存在性及其几何应用。各种特殊几何结构的紧性是几何分析的重要问题，项目将探讨一般拟Hermitian流形及特殊拟Hermitian结构的紧性，如：拟Einstein结构的紧性，以期得到若干分类和CR版本的单值化型定理。为了实现以上项目目标，我们将研究CR Sobolev不等式、Carnot-Caratheodory距离的次拉普拉斯比较定理和热核估计等。

本项目主要探讨了拟Hermitian流形上的若干几何分析问题，涉及拟调和映射的存在性和广义全纯映射的Schwarz引理等。拟调和映照是调和映照在拟Hermitian流形上的自然推广，是一种重要的次椭圆偏微分方程。通过研究黎曼曲率和拟Hermitian曲率之间的关系，项目给出了拟Hermitian流形上黎曼距离的Sub-Laplacian估计，为完备非紧流形上相关问题的研究准备了有效的穷竭函数。项目研究了在目标流形为正则球时拟调和映射的梯度估计，并建立了非紧完备流形上拟调和映射的存在性；探讨了紧致带边和非紧完备拟Hermitian流形上Sub-Laplacian算子L2谱的估计以及特征函数的梯度估计，建立了正拟调和函数的Liouville定理；利用类似的方法推导了Sub-Laplacian算子热核的上界估计，并从热核角度研究了CR Sobolev不等式。后者被应用于探讨拟Einstein结构的紧性。全纯映射的Schwarz引理是复几何双曲问题的重要基石之一。本项目探索了拟Hermitian流形之间以及与Hermitian流形之间的四类广义全纯映射，包括CR映射、横截全纯映射等；计算了它们的CR Bochner公式，建立了Schwarz引理。作为应用，我们讨论了拟Hermitian流形上的CR Kobayashi伪距离和CR Caratheodory伪距离，并研究了相应的双曲问题。此外，项目还研究了此四类广义全纯映射的广义Schwarz引理，给出了拉回度量特征值的部分和函数与部分乘积函数的估计，说明了它们和拟Hermitian曲率之间的关系。