流形上的几何与拓扑的若干问题研究

开拓、深化几何分析、整体黎曼几何的一些现代方法,研究黎曼流形的几何结构与拓扑结构及内在联系,证明流形的比较定理、拓扑球面定理、微分球面定理、刚性定理和拓扑有限性定理；研究几何量、分析量、拓扑量的内在联系,定量刻画流形的几何特征和拓扑特征；在Brendle-Schoen新近工作的基础上，研究曲率积分拼挤条件下Ricci流的收敛性定理及其在曲率与拓扑中的应用；研究高余维平均曲率流及其在曲率与拓扑、广义相对论中的应用，推进源于空间形式中平行平均曲率子流形刚性定理的广义Andrews猜想研究；推进反平均曲率流与黎曼型Penrose不等式研究，推进关于渐进平坦空间的Huisken-Yau 理论研究；研究黎曼流形上特征值、热核的优化估计及其应用，探讨流形的特征值对流形的几何结构与拓扑结构的影响，推进紧致带边流形上高阶特征值的广义Polya猜想研究。本课题属国际前沿学科,在许多研究领域有重要应用。

本项目研究了黎曼流形的曲率与拓扑、整体几何和几何分析。对关于流形逐点曲率拼挤的丘成桐猜测给出了反例。提出并推进了关于逐点曲率拼挤的新版丘成桐猜测的研究。特别地，证明了四维情形的新版丘成桐猜测。获得了关于正数量曲率黎曼流形的新的微分球面定理。在数量曲率弱拼挤条件下证明了常曲率空间形式中完备子流形的最佳微分球面定理与分类定理。将弱拼挤条件下的Brendle-Schoen微分刚性定理推广到黎曼流形中具任意余维子流形的情形。证明了Ricci曲率拼挤条件下空间形式中紧致子流形的最佳拓扑球面定理和微分球面定理。在更弱的Ricci曲率拼挤条件下证明了奇数维子流形的拓扑球面定理。获得了球面中子流形的一个新的最佳外蕴微分球面定理。证明了第k个Ricci曲率拼挤条件下子流形的若干球面定理。证明了逐点曲率拼挤条件下紧致爱因斯坦流形的最佳几何刚性定理，并将其推广到黎曼流形中任意余维爱因斯坦子流形的情形。证明了单位球面中n维小常平均曲率超曲面的拼挤区间长度为n/23的数量曲率第二拼挤定理。获得了单位球面中具有小常平均曲率与常数量曲率超曲面的空隙区间长度为(3n)/7的数量曲率第二空隙定理。实质性地改进了球面中紧致极小子流形的Ejiri刚性定理和丘成桐刚性定理。证明了空间形式中紧致平行平均曲率子流形的广义Ejiri刚性定理和广义丘成桐刚性定理。获得了球面中紧致平行平均曲率子流形的一个最佳外蕴刚性定理。证明了曲率积分拼挤条件下空间形式中任意余维平均曲率流解的收敛性定理和可延拓性定理。获得了双曲空间中任意余维平均曲率流的最佳收敛性定理及其拓扑应用。在逐点曲率拼挤条件下证明了具有有界几何的黎曼流形中任意余维平均曲率流的收敛性定理。运用高余维平均曲率流方法证明了欧氏空间中闭子流形在曲率积分与体积具有上界的条件下的拓扑有限性定理。证明了空间形式中闭超曲面的保体积平均曲率流的收敛性定理。获得了黎曼流形中紧致嵌入超曲面第一特征值的表达式，给出了关于紧致嵌入极小超曲面第一特征值的丘成桐猜测成立的充要条件。获得了Hadamard流形中紧致带边极小子流形上薛定谔算子特征值个数的估计式。