椭圆边值问题的齐性化理论及调和分析方法之研究

Homogenization theory studies the effects of high-frequency oscillations in the coefficient upon solutions of PDE. Recently, Kenig,Lin and Shen had a big breakthrough on elliptic homogenization theory on nonsmooth domain. More and more analysts pay attention to the field. We will apply harmonic analysis methods and techniques to continue the research for elliptic homogenization problem, including (i) Homogenization problems of elliptic systems satisfying Legendre-Hadamard condition with Dirichlet boundary condtions on nonsmooth domain;(ii)Homogenization of second order elliptic operators with non-uniformly oscillating coefficients on nonsmooth domain; (iii) Homogenization of elastic systems with Neumann boundary condtions on Lipschitz domain.

微分方程齐性化理论是研究微分方程中高频率振荡的系数对解的影响，是方程研究的重要课题。由于近年来Kenig、林芳华、申仲伟等学者在非光滑区域上椭圆齐性化问题上的突破，使得这方面的研究越来越多地受到了分析学家们的重视。本项目申请者拟运用调和分析的方法和技巧来从事椭圆边值问题齐性化理论方面的研究。包括：(i)非光滑区域上 Legendre-Hadamard条件下椭圆算子的Dirichlet边值问题的齐性化理论；(ii)非光滑区域上非一致振荡系数的二阶椭圆算子的齐性化理论；（iii）Lipschitz区域上弹性系统的Neumann边值问题的齐性化理论。

齐性化理论中的边值问题是偏微分方程的重要研究课题之一。调和分析方法是非光滑区域边值问题研究的非常重要的工具。本项目拟通过发展调和分析的理论方法，运用调和分析的技巧来从事非光滑区域上椭圆边值问题齐性化理论方面的研究。 我们得到的结果如下。 考虑一个具有快速震荡周期系数的线性弹性系统，我们证明了Lipschitz区域上该弹性系统解的一个边界korn不等式，从而得到了弹性系统Dirichlet边值问题与Neumann边值问题的一致的L2估计。证明中我们运用了Dahlberg的双线性估计、Carleson测度，奇异积分算子的有界性等调和分析工具。 这是弱椭圆条件下齐性化理论的一个深入的进展。 我们还研究得到了与微分算子相联系的Hardy空间的极大函数刻画，与微分算子相联系的Campanato空间的重要性质，并将其应用于边值问题的研究。 我们还在Coifman-Weiss齐型空间上运用Auscher、Hytonen构造的齐型空间上的正交小波基，证明了奇异积分算子在Hardy空间、BMO空间等函数空间上的有界性。我们的部分成果已经发表在Adv.Math., Arch. Rational Mech. Anal.， J.Funct. Anal.等重要数学期刊上。