与量子群有关的一些代数的表示理论

In this project, we will focus on the representations of some finite and infinite associative algebras which are closely related to the representations of quantum groups, including the following issues. The first one is about the affinization of the quantized walled Brauer algebras; The second one is about the representations of affine quantized walled Brauer algebras; The third one is about the Schur-Weyl duality between the cyclotomic quantized walled Brauer algebras and quantum general linear (super)groups; The fourth one is about the Schur-Weyl duality between cyclotomic Birman-Murakami-Wenzl algebras and quantum orthogonal、symplectic groups. The study of these problems will play an important role in the representations of quantum groups.

本项目主要研究与量子群表示理论密切相关的一些有限维、无限维结合代数的表示理论，具体包括：(1)研究量子 walled Brauer 代数的仿射化;(2)研究仿射量子walled Brauer 代数的表示理论;(3)研究分圆量子walled Brauer 代数与量子一般线性(超)群之间的 Schur-Weyl 对偶;(4)研究分圆 Birman-Murakami-Wenzl 代数与量子辛群、正交群之间的 Schur-Weyl 对偶。这些问题及其相关课题的研究对量子群的表示理论的研究具有重要意义。

本项目主要研究与李理论密切相关的一些有限维、无限维结合代数的表示理论。这些问题及其相关课题的研究对李代数、量子群的表示理论的研究具有重要意义。具体包括：（1）.对量子 walled Brauer 代数的表示论进一步研究，给出其cell模的Gram 矩阵行列式递推公式。研究其在一定条件下的块的分类问题。作为应用得到了定义在任意域上量子 walled Brauer 代数的cell模是单模的判定准则。.（2）.对分圆Hecke代数进一步研究，建立了分圆Hecke 代数与一般李超代数之间的高阶Schur-Weyl 对偶，结合Brundan-Losev-Webster关于范畴化唯一性定理，给出了分圆Hecke代数定义在不同cellular 基下的不可约模之间的精确联系。这个结果推广了关于分圆Hecke代数的广义Mullineux 猜想。.（3）.研究分圆Nazarov-Wenzl 代数的分解数问题。我们映入仿射及分圆Brauer范畴，证明其基定理，并证明仿射及分圆Nazarov-Wenzl 代数同构于这些范畴中特定的自同态代数。通过建立分圆 Brauer范畴与BCD型李代数之间的Schur-Weyl 对偶，我们把分圆Nazarov-Wenzl 代数实现为BCD型的BGG抛物范畴O中的自同态代数，从而解决了分圆Nazarov-Wenzl 代数的分解数问题。.（4）.引入仿射及分圆 walled Brauer-Clifford 超代数。通过建立2阶分圆walled Brauer-Clifford 超代数与Q型李超代数之间的Schur-Weyl对偶，我们证明了仿射及分圆 walled Brauer-Clifford 超代数的基定理。