基于不连续微分方程理论的复杂网络动态行为和同步行为研究

The research on complex network is a very significant topics of theory and practical application, the existing results about the dynamic behavior and synchronization on complex networks pay colse attention to the systems with continuous differential system, which ignoring a large number of complex networks with discontinuous differential systems, so the complex networks need to be further researched. This project research the dynamic behavior and synchronization behavior for complex networks with discontinuous differential systems using the basic theories of discontinuous differential equations ,set-valued mapping theory, differential inclusion theory , perturbation theory of differential equation, some inequality techniques and the existing results on complex networks. Particularly, the research of the dynamic behavior and synchronization behavior on complex networks composed of discontinuous functional differential systems is emphasized. Firstly, we research the stability, the robust stability and the finite time convergence for complex networks; Secondly, we research the the conditions for synchronization on complex networks with discontinuous differential systems and design the suitable controller for complex networks to realize the synchronization and synchronization in finite time. This research will provide a theoretical basis on dynamic behavior and synchronization behavior on the complex network with discontinuous differential systems ,furthermore, it has broad application in mechanical engineering, computer network, biological neurology and social sciences.

复杂网络问题研究是一项非常具有理论意义和实际应用意义的课题，已有的复杂网络问题研究都要求节点的动力学行为是连续的微分系统，而忽视了众多的不连续微分系统组成的复杂网络，故复杂网络的研究有待于进一步的深入。本项目结合不连续微分方程和复杂网络的基本理论，综合运用集值映射理论、微分包含理论、微分方程的扰动理论以及一些不等式技巧等对由不连续微分系统组成复杂网络的动态行为和同步行为，特别是不连续泛函微分系统组成的复杂网络的动态行为和同步行为进行发展和完善，研究由不连续微分系统组成复杂网络解的稳定性、鲁棒稳定性以及有限时间收敛性等；其次，研究由不连续微分系统组成的复杂网络的同步问题，探讨复杂网络同步实现的条件，以及设计合适控制器实现复杂网络的同步和有限时间同步。该研究将为由不连续微分系统组成的复杂网络的动态行为和同步行为提供理论依据，将在机械工程、计算机网络、生物神经学和社会科学中有着广阔的应用前景。

在国家自然科学基金天元专项资金“基于不连续微分方程理论的复杂网络动态行为和同步行为研究”（ 11226143）的资助下，我们在《Abstract and Applied Analysis》和《Circuits, Systems, and Signal Processing》上发表SCI论文2篇，在 《Annals of Differential Equations》发表论文1篇，另有1篇论文成果在审稿。结合教学过程中的问题，发表1篇省级教学论文。现将我们对项目的完成情况和取得成果简单介绍如下：.1.本人收集和查阅了大量国内外有关该课题的文献资料，全面地了解国内外在不连续复杂网络动态行为和同步行为的发展动态，对已有的相关成果进行系统归纳、总结分析，吸收了国内外相关成果的先进思想、方法和技巧。参加《泛函微分方程及控制理论研讨会》，并在《微分方程》发表论文1篇。.2.结合已有的复杂网络同步理论和滑模变结构控制理论，利用自适应控制方法设计了不连续控制器实现了两类不同随机混沌系统的均方同步和几乎必然同步。.3.结合滑模变结构控制理论，设计了不连续自适应模糊控制器实现非线性随机系统对给定信号的追踪。在设计控制器下，误差进入依赖于控制参数的任意小的区域。.4.在不连续微分系统Filippov解的意义下，结合微分包含的稳定性理论，在系统中非线性不连续函数满足线性增长条件下，设计状态反馈控制器和自适应反馈控制器实现由不连续时滞神经网络线性耦合而成的复杂网络的完全同步和指数同步，同时，简单讨论了设计牵引控制器实现复杂网络的同步。.5.针对现有数学分析教材对二元函数一致连续性介绍的不足,本文首先详细讨论二元函数一致连续性的四则运算和复合函数的一致连续的条件.其次,用实例的形式对二元函数一致连续性和函数有界、偏导数有界、方向导数有界以及可微之间的关系做了详细的注解.最后,给出了二元函数一致连续区域可加性的条件,并用实例的形式对二元函数和一元函数的函数的一致连续性做了比较.