含有时间维的2-D系统状态稳定性研究

2-D time-space systems are a large class of dynamic systems with wide applications, which are described by two-index sequence x(i, j). Except for the multi-dimensional signal processing systems, the originated models of 2-D systems in existing references are almost the discretized-model systems such as the heat-conducted systems. Such kind of systems has typical performance in time domain: one of the indices of the states x(i, j) is time, and the other is the space. So far, the stability of 2-D systems is defined based on the sense of i, j tend to infinity. Note that in such kind of systems (e.g. the heat conducting systems), when the time tends infinity, the asymptotic property x(∞, j) of the distribution of space states instead of the asymptotic states x(∞,∞) at infinitely far, are of very significant sense in practical engineering. By exploiting the concrete engineering control problems in heat-conducted system, this project will study the possible analysis methodology for the stability and its control problems for a class of 2-D systems with time dimension via the existing theory and methods on 1-D system, 2-D repetitive systems and 2-D behavior systems. This study will be benefit to further improvement of 2-D systems theory.

2-D系统是指以双指标序列x(i, j)来描述的动态系统。除了部分不强调时间特性的多维信号处理模型外，现有文献中源自工程原型的2-D系统（如热传导模型）大多呈现出典型的时间维度特征：其状态x(i, j)中的指标i, j，一个是时间，另一个是空间。目前，2-D系统稳定性都是在i, j均趋于无穷的情形下定义的。本项申请注意到在许多情形下：时间i趋于无穷时的系统状态的渐近空间分布x(∞, j)（而非无穷时间意义下无穷远空间的渐近状态x(∞,∞)）也具有重要的工程实际意义。因此，本研究拟从热传导系统等具体控制工程问题出发，借鉴1-D系统、2-D重复系统以及2-D行为学理论和方法，就一类含有时间维的2-D系统模型，研究在时间趋于无穷时，反映系统状态在空间分布渐近特性的稳定性及其分析、控制方法，进一步拓展和完善2-D系统稳定性理论。

本项研究旨在解决长期困扰2-D系统内部稳定性理论的一个难题：2-D状态向量x(i,j)，边界条件为x(i,0),x(0,j),i≥0,j≥0，当自变量i,j为时间和空间维度时，内部稳定性缺乏有意义的工程物理解释。.如x(i,j)为直线热交换器中的温度分布，i空间位置，j时间，则传统2-D内部稳定性系指对一致有界的边界条件有x(i,j)→0,i→∞,j→∞。且不说无穷远空间点的温度x(∞,j)有什么意义？直线热交换器长度就不可能是无穷的。在任意j时刻，它至多是分布在有限空间上的温度场x(i,j),0≤i≤N。i=0是空间边界，1≤i≤N是热交换器内部空间。工程热物理关心的是传导空间内随时间变化的温度场分布随时间的渐近特性，如x(i,j)→0,j→∞,1≤i≤N。那么，传统2-D内部稳定对这类物理问题的意义究竟何在？.众所周知：热力学方程的离散化是2-D系统模型的重要起源。因此这个问题必须获得解决。自上个世纪七十年代提出2-D系统模型以来，这一问题一直未见研究结果。.本项研究经过整整三年的努力，解决了这一问题。主要结果如下：.（1）从热传导问题获得启迪，针对具有限空间的2-D时空系统定义了一种等度稳定概念。设2-D线性定常系统的状态x(i,j)，0≤i≤N,j≥0。i空间位置，j时间。边界条件x(0,j),j≥0，初始条件x(i,0),0≤i≤N。则称系统关于N等度稳定系指：对任意趋于平稳的边界条件及任意初始条件，有x(i,j)→0，1≤i≤N，j→∞。这里，收敛关于N是一致的。边界条件趋于平稳系指x(0,j)→0,j→∞。.（2）提出并证明了关于N等度稳定的基本定理：系统关于N等度稳定当且仅当其所有2-D极点均落在单位双圆盘|z1 |≤1,|z2 |≤1内。.注意到这个条件与传统2-D内部稳定性的充要条件完全一致。它成功地给出了传统2-D内部稳定性在2-D时空系统的物理解释：分布在有限空间上的2-D时空系统，若它具有被定义在无限时空的内部稳定性，则它是等度稳定的。反之亦然。后者，具有坚实的工程物理意义。基于这个定理：当前涉及2-D内部稳定的分析与综合研究结果，都可平行推广到定义在有限空间上的2-D时空系统关于等度稳定的相应结果。