子流形的几何与曲率流研究

子流形几何是现代微分几何的一个重要分支，其研究不仅具有重要的数学意义，而且在物理学上也有重要应用。本项目主要探讨子流形的整体几何和分析性质，包括共形几何、Bernstein型问题，以及子流形的曲率流等方面。具体地，我们一是研究非平坦外围空间中高余维数子流形或类空子流形的Bernstein型问题；二是研究Lorentz空间形式中的共形等参超曲面，以及具有某些曲率条件的共形子流形；三是研究具有位置向量平衡项的凸超曲面曲率流和高余维完备非紧类空子流形的平均曲率流；四是研究高余维数子流形平均曲率流的旋转对称的Soliton解性质。这些都是当前微分几何和几何分析研究的基本问题和热点问题，也是理论物理学家关注的重要问题。

本项目主要探讨子流形的整体几何和分析性质，包括共形几何、Bernstein型问题，以及子流形的曲率流等方面。本项目按计划完成了研究任务，具体地，我们研究了如下四方面问题。（1）子流形的Bernstein问题方面。我们一是研究了一类Calibrated流形中具有平行平均曲率向量和Calibrated角余弦具有某种增长条件的子流形，给出了这类流形中具有任意维数和余维数子流形的Bernstein型结果。二是研究了一类非平坦伪黎曼流形中满足某种条件的极大类空子流形，并在一定条件下证明了该子流形必是一线性映射的图，从而得到了伪黎曼流形中具有高余维子流形的Bernstein型定理。（2）子流形的曲率流方面。我们一是研究了4维欧氏空间中具有位置向量平衡项的2维图曲面的平均曲率流的长时间存在性，以及发展速度为某一曲率函数与某一外力场之差的凸曲率流的收敛性。二是研究了发展速度为第m个平均曲率的某一幂的具有任意平衡项的曲率流的发展问题，证明了这类曲率流的收缩、收敛性质和曲率函子为主曲率的一次齐次函数情形相同，推广了相应结果。三是研究了欧氏空间或Minkowski空间中具有高余维数子流形的图子流形的平均曲率流的旋转对称解的性质，完全给出了高余维数图子流形平均曲率流的旋转对称的Soliton解的存在性和渐近性质。（3）子流形的共形几何研究方面。我们一是给出了共形空间中具有两个共形主曲率的等参超曲面的分类。二是研究了共形空间中具有平行的共形第二基本形式的I型类时超曲面，并给出了相应的分类结果。三是研究了共形空间中的正则子流形的相关性质，给出了这类子流形的某些特征。四是研究了共形空间中共形形式为零的类空曲面，并运用极大值原理给出了反de Sitter空间中具常平均曲率的类空超曲面的分类。（4）开流形的微分同胚性质研究方面。我们一是研究了一类非紧，且具有非负Ricci曲率和大体积增长的黎曼流形的微分同胚性质，证明了当该黎曼流形的测地球和欧氏空间中具有相同半径的标准球面的体积比满足一定条件时，该黎曼流形必须同胚于欧氏空间。二是研究了一类径向曲率非负的开黎曼流形的整体几何拓扑性质，证明了如果该类流形的径向曲率衰退到0，且从一点开始有足够多的测地线，则该类流形也和欧氏空间微分同胚。