求解界面问题的浸入界面有限元方法及其预处理算法

In scientific and engineering computations, we often need to solve interface problems. For examples, simulations of the blood flow in human's heart, cell deformation, the interface between water and oil, water and ice, composite materials, multiphase flow, etc. can be considered as interface problems. Particularly, interface problems have wide applications in mathematical biology and computational fluid dynamics (CFD). In 1994, Prof. R. LeVeque and Z. Li proposed the Immersed Interface Method (IIM) for solving interface problems. One of advantages of IIM is that the method is based on simple meshes, but still maintains high order accuracy. The IIM and its recent development are mostly based finite difference formulations. There are relatively few research on the method using a finite element approach. It is well known that there are many advantages of finite element methods in scientific and engineering computations, esspecially for non-conforming finite element methods and isoparametric finite element methods. Consering recently advances in domain decomposition and multigrid methods, it is significant and urgent to develop and analyze the immersed interface finite element methods for interface problems, and study its domain decomposition and multigrid preconditioning algorithms for elliptic, linear elasticity, Stokes, bi-harmonic, and eletro-magnetism interface problems.

在科学与工程计算中，人们经常需要求解界面问题，例如，模拟人类心脏的血液流动，细胞变形，水和油的界面，水和冰的界面，复合材料，多相流等等。界面问题特别在生物数学和计算流体力学中有着广泛的应用。1994年R. LeVeque 教授和李治林教授对于界面问题提出了浸入界面方法。该方法的特点之一是基于简单网格但仍能保持高精度。到目前该方法的研究绝大部分都是基于差分方法，基于有限元方法的研究不多。由于有限元方法在求解科学工程问题中具有的独特的优点，特别是非协调元和等参曲边元具有其独特的好处，而区域分解和多重网格是求解离散问题最有效的快速算法之一，因此研究诸如二阶椭圆界面问题、线弹性界面问题、Stokes界面问题、板界面问题、电磁波界面问题的基于协调元、非协调元、等参曲边元等的浸入界面有限元方法，并研究这些离散问题的区域分解和多重网格预处理求解算法，是一个非常有意义的重要研究课题。

该项目对椭圆界面问题、平面线弹性界面问题、Stokes界面问题、四阶方程界面问题等，深入研究了浸入界面有限元方法。对于分片不连续系数带非齐次跳跃条件的椭圆界面问题，我们利用奇异去除技巧去处理非齐次跳跃条件，提出了一种快速的增广浸入界面有限元方法；对于椭圆界面问题的浸入界面有限元方法，我们提出了一种对称相容的浸入界面有限元方法；对于具有分片常系数的椭圆界面问题，我们通过引入一个新的增广变量，提出了一种新的无需利用奇异值分解插值的增广浸入界面有限元方法；对具有分片变系数的椭圆界面问题，通过引入法向导数作为增广变量，我们提出了一种新的增广方法。对于两项流的Stokes界面问题，我们基于Nitsche方法和鬼罚方法，对最低阶的P1/P1元提出了一种新的非匹配稳定化有限元方法；对于Stokes方程模拟的流体流和达西定律建模的多孔介质流之间的流体结构耦合问题，我们提出了一种基于笛卡尔网格的新的有限差分方法。对平面弹性界面问题，我们用P1协调元逼近位移的第一个分量，用P1非协调元逼近位移的第二个分量，提出了一种新的非协调浸入界面有限元方法；为了克服用协调元构造扩展有限元空间的非协调性，对椭圆界面题，我们提出了一种网格与界面非匹配的协调增扩有限元方法，我们利用P1协调元空间逼近解的光滑部分，利用IFEM的技巧在界面附近构造一种特殊的局部有限元空间逼近解的法向导数跳量，我们的协调元空间逼近不依赖于跳跃条件，也不要求系数是分片常数。对具有不连续系数的四阶偏微分方程界面问题，通过引入中间边界条件作为增广变量，我们将原问题转化为在界面带源项跳跃的Poisson方程，提出了一种增广的快速差分方法。对带接触阻抗复合材料热传导问题，通过添加鬼罚项，提出了一种非匹配有限元方法。数值实验表明以上所提方法是有效的。此外，我们还提出了其他一些问题的数值方法，详细结果参见正文。