界面问题浸入有限元方法及其理论分析

Interface problems describe many practical percolation process such as the miscible displacement with discontinuous diffusion coefficient due to complex strata or multi-phase flux. The establishment of accurate, highly efficient numerical methods and completed numerical analysis has important theoretical value and application aspects for deeply revealing the mechanism of percolation and guiding science engineering practice. The first goal of the project is to simulate numerically the second-order interface elliptic problems with tensor diffusion coefficient(anistropic flow case). By enforcing the jump condition into the finite element space involved the interface element, we construct the piecewise linear finite element space of Lagrange and Crouzeix-Raviart type on each element. Based on the space's capability of recognizing and approximating the interface, we develop the corresponding partially penalty immersed interface finite element methods and their optimal-order error analysis. An extension to second order interface elliptic problems with inhomogeneous jump conditions is made. The second goal is to improve and modify the problems appearing in the previous numerical analysis on the immersed interface finite element methods for the second order interface elliptic problems with scale-function diffusion coefficient (isotropic flow case). By doing so, we complete the optimal-order convergence analysis for the isotropic flow case. Further, we try to design an immersed interface finite element procedures for the second order interface parabolic problems with moving interface.

界面问题刻画了诸如由复杂地质结构或多相流导致的具有间断扩散系数的混溶驱替等实际渗流过程，建立其准确高效的数值模拟方法与完善的数值分析理论体系，对深刻揭示实际渗流的运动机理、指导科学工程实践具有重要的理论价值与应用前景。本项目旨在对具有张量扩散系数（各向异性渗流）的二阶椭圆界面问题，通过强加界面跳跃条件至界面单元空间，构造对界面具有良好辨识能力与逼近性质的Lagrange型与Crouzeix-Raviart型有限元空间，据此，建立沿界面单元边界惩罚的界面浸入有限元方法与相应的最优阶误差估计理论，并推广至具非齐次界面跳跃条件的二阶椭圆界面问题。对具纯量扩散系数（各向同性渗流）的椭圆界面问题有限元误差分析中存在的问题进行改进与修正，弥补当前研究成果的缺失，完善各向同性渗流问题界面浸入有限元方法的收敛性理论体系。进一步，对具有随时间变动界面的二阶抛物型界面问题设计恰当的界面浸入有限元数值模拟格式。

自项目实施以来，我们根据工作计划，积极开展工作，查阅文献资料，并借鉴国内外相关的研究结果，对刻画了诸如由复杂地质结构或多相流导致的具有间断扩散系数的混溶驱替等实际渗流过程的界面问题提出了浸入有限元方法并进行了一系列理论分析。.针对各向异性二阶椭圆界面问题通过强加界面跳跃条件至界面单元空间，构造对界面具有良好辨识能力与逼近性质的 Lagrange 型与 Crouzeix-Raviart 型有限元空间，据此，建立沿界面单元边界惩罚的界面浸入有限元方法与相应的最优阶误差估计理论；对非齐次界面跳跃条件的二阶椭圆界面问题通过水平集技术和选择一个特殊的数值通量来吸收界面的跳跃条件，化非齐次界面跳跃条件问题为类似的齐次界面跳跃条件问题，从而对齐次界面跳跃条件界面问题提出了部分惩罚SIPG，NIPG与IIPG界面浸入有限元数值模拟技术，证明了格式解的适定性和依赖于真解分片H2-范数的最优阶能量模与L2模误差估计。.针对经典的二阶椭圆界面渗流问题的极限情况-分数阶渗流扩散问题，借助于混合元的思想对一类变系数分数阶扩散方程建立了混合形式的有限元离散格式，并证明了其是定向性；我们还借助于鞍点理论证明了2-β（0<β<1）阶扩散方程解的存在唯一性，据此提出了保持单元守恒的扩展混合元离散格式，证明了格式收敛性估计。此外我们还研究了一类控制受限的时间分数阶最优控制问题的数值模拟以及对刻画石油工业中含烃流真实状态的具有Peng-Robinson状态方程的扩散界面模型，基于不变能量二次型（Invariant Energy Quadratization） 和惩罚格式，对解决单组份两相流提出了有效的一阶、两阶时间步进格式(time stepping scheme)。