解具有间断系数问题的非协调元多重网格和区域分解方法

在科学与工程计算中，人们经常需要求解间断系数问题，例如地下水流、流体压力预测、燃料电池、电磁场问题等。由于这类问题离散系统的条件数不仅依赖于网格尺寸的大小，还依赖于系数的间断，如二阶椭圆问题离散后系统的条件数上界与网格尺寸平方的倒数及二阶项的系数的最大值和最小值的比成正比。所以, 当网格尺寸很小或系数有很大间断时, 通常迭代方法的收敛速度很慢。 因此对间断系数问题研究高效可并行的数值求解方法, 即收敛率与(间断)系数和网格尺寸无关或依赖很弱的算法, 是一个非常有意义的研究课题。本课题主要研究带间断系数的Stokes问题、弹性问题的非协调元及其mortar 型非协调元多重网格和区域分解方法，我们特别要研究多尺度的Stokes问题、弹性问题（即系数在每个子区域内部也有间断）的非协调元多重网格和区域分解方法。同时我们还要考虑带间断系数的板问题、电磁场问题的多重网格和区域分解方法。

我们研究了Stokes-Darcy问题几种模型的非匹配网格上的非协调元/非协调元，非协调元/混合元，混合元/混合元离散逼近，证明了相应离散问题的适定性，给出了误差估计，提出了一些多水平预处理方法，证明了预条件子的最优性；提出了带间断系数二阶椭圆问题的P1非协调有限元的多水平预处理方法，证明了预处理共轭梯度法的收敛率关于系数跳跃和网格尺寸是拟一致的。我们研究了自适应mortar型有限元方法，提出了一种新的残量型后验误差估计子, 在不依赖于饱和假设和界面网格假设条件下, 给出了可靠性和有效性分析；提出了mortar型P1协调元自适应有限元解带间断系数二阶椭圆问题的局部多水平预处理方法，证明了预处理后系统的条件数与系数跳跃无关。基于混合形式，我们利用一种低阶的非协调矩形元离散逼近纯位移边值的平面线弹性问题,证明了该离散方法是稳定的，并且提出了一种具有鲁棒性的多重网格方法，证明了多重网格算法的收敛率和网格尺寸、网格层数以及拉梅常数均无关。对H(div)-椭圆问题，我们设计了内罚型间断Galerkin离散方法，给出了在能量范数意义下的最优先验误差估计，给出了一类残量型后验误差估计子，证明了该后验误差估计子的可靠性和有效性；同时提出了一种Robin-Robin型区域分解迭代求解方法，证明了该方法的收敛性。对带间断系数椭圆问题的非协调旋转Q1元离散逼近，我们提出了一种BDDC区域分解预处理方法，证明了该方法的拟最优收敛性。我们对不可压Stokes问题研究了mortar型P1非协调元/ P0元离散逼近，证明了离散的inf-sup条件，得到了最优误差估计，提出了W循环多重网格方法，证明了多重网格的最优收敛性。我们研究了相场液晶模型和分子束外延模型的绝对稳定格式，并给出了理论证明包括稳定性，可解性，收敛性等，提出了时间步长自适应方法。数值实验表明以上所提方法是有效的。