多相界面问题的浸入界面/扩展有限元方法及其快速求解器

Multi-phase interface problems come from multi-media and/or multi-physics fields, and there are many applications in daily life. For examples, simulations of the blood flow in human's heart, cell deformation, composite materials, the interface between water and oil, foam movement and deformation, etc. If we solve interface problems using fitted-meshes, it is challenging for comlicated interfaces and time consuming to regenerate quality meshes at every or several other time steps due to the nature of moving interfaces. If we use unfitted-meshes, we can avoid these problems. Now the main unfitted-mesh finite element methods for solving interface problems are immeresed interface finite element methods and extended finite element methods. There is a rich literature on these two kind methods for elliptic interface problems, a few for elasticity and Stokes interface problems, but few for other interface problems. Domain decomposition and multigrid methods are two kinds of most efficient fast algorithms for solving discrete problems. It is significant and urgent to develop and analyze the immersed interface finite element methods and extended finite element methods for multi-phase interface problems (such as, elasticity interface problems, Stokes interface problems, 4th-order plate interface problems, Darcy-Stokes coupled problems, fluid structure interaction problems), and study its multilevel domain decomposition and multigrid fast solves.

多相界面问题是由多介质、多物理场产生的，在日常生活中有着很多应用。例如，模拟人类心脏血液流动，细胞变形，复合材料，油水混合，泡沫移动和变形等。如果用匹配网格方法求解，对复杂界面，网格生成比较麻烦；对移动界面，在不同时间重新生成网格比较耗时。如果用非匹配网格方法求解，则可以克服匹配网格方法的缺陷。目前求解界面问题主流的非匹配网格有限元方法有浸入界面有限元方法和扩展有限元方法。这两种方法在求解椭圆界面问题方面研究较多，对弹性界面问题和Stokes界面问题的研究不多，对其他界面问题的研究更少见。区域分解和多重网格方法是求解离散问题最有效的快速算法之一。因此研究多相界面问题（如弹性界面问题，Stokes界面问题，四阶板界面问题，Darcy-Stokes耦合问题，流固耦合问题）的浸入界面有限元方法和扩展有限元方法，研究这些离散问题的多水平区域分解和多重网格快速求解器，是非常有意义的重要研究课题。

多相界面问题是由多介质、多物理场产生的，在日常生活中有着很多应用。该项目主要研究椭圆界面问题、弹性界面问题、Stokes界面问题、四阶板界面问题、流固耦合界面问题、Darcy-Stokes耦合界面问题的浸入界面有限元方法和扩展有限元方法。对二阶椭圆界面问题，基于线性元提出了一种新的与参数无关部分加罚浸入有限元方法；提出了P1非协调Nitsche扩展有限元方法；基于Brezzi-Douglas-Marini元空间和分片常数空间，提出了扩展混合有限元方法。对一维椭圆界面问题，提出了一种具有鲁棒性的多重网格算法，首次证明了算法是最优的。对三维H(curl)椭圆界面问题，基于最低阶第二类Nedelec棱元，提出了Nitsche扩展有限元方法。对平面弹性界面问题，提出了基于CR元边上中点值为自由度的部分加罚的P1/CR浸入界面有限元方法。对Stokes界面问题，提出了一种基于非协调P1/P0元的浸入有限元方法；基于MINI元提出了一种界面与网格非匹配的协调增扩有限元方法；提出了非协调P1/P0元的Nitsche扩展有限元方法。对四阶重调和板界面问题，提出了一个新的界面耦合条件，并在此新的界面条件下基于修正的Morley元提出了Nitsche扩展有限元方法；提出了一种基于Ciarlet-Raviart形式的Nitsche混合扩展有限元方法。对一种Stokes-椭圆耦合界面问题，基于MINI元提出了一种界面非匹配协调增扩有限元方法。对带曲界面的Darcy-Stokes耦合界面问题，对Darcy方程采用Brezzi-Douglas-Marini元空间和分片常数空间，对Stokes方程采用分片二次连续函数空间和分片常数空间，提出了扩展有限元方法。对以上所提的方法，我们均证明了离散逼近问题解的存在唯一性，并得到了最优误差估计，所得结果与网格的尺寸、物理参数的比例以及界面和网格的位置无关，数值算例验证了理论结果。