内交换子群对有限p群结构的影响

It is one of basic contents and methods that study the properties and structure of a finite p-group defined by its subgroup structure. We notice that a minimal nonabelian subgroup of a p-group is its basic element. The project, by investigating the specific properties of p-groups, aims at studying the influences from new views like the number of minimal nonabelian subgroups generating a nonabelian p-group, and the intersection of all minimal nonabelian subgroups of a p-group, on the structure of finite p-groups. The main object in the project is to characterize and classify certain classes of finite p-groups, and investigate the interconnection and interreflection of certain classes of finite p-groups and their application.

通过给定子群的某种性质和结构研究p群本身的性质和结构是p群研究的基本内容和方法之一。由于内交换子群是非交换p群的基本元素，本项目通过考察p群特有的基本性质，旨在从几个崭新的视角，例如，生成非交换p群G的内交换子群的个数、G的所有内交换子群的交等方面，研究它们对p群结构的影响问题。刻画和分类几类p群、研究几类p群之间的联系和相互影响及其应用是本项目的主要研究内容。

内交换子群在确定有限p群的结构中起着基本的作用，本项目研究了内交换子群对有限p群结构的影响。我们提出了两个新的子群概念，即：内交换子群的交和非内交换的极大子群的交。分类了交分别为指数p^2和p^3的有限p群。确定了非内交换的极大子群的交的结构，由此分类了由该类子群的交确定的p群。证明了类2子群均二元生成的有限p群等价于非交换子群均二元生成的有限p群，由此给出了类2子群均二元生成的有限p群的完全分类。另外，构造了一个反例说明：所有的类2子群均三元生成，但存在类3子群不是三元生成的。本项目的这些结果解决了著名群论学家Janko和Berkovich在他们合著的ｐ群专著“Groups of Prime Power Order”中提出的三个问题，被同行专家高度评价，部分成果被认为是“相当深刻的、新的和有趣的”，“对该学科的一个实质性的原始性的贡献”。本项目的成果以4篇论文的形式发表，其中SCI期刊3篇，国内核心期刊1篇。培养4名硕士研究生，其中2名已毕业获得学位。在国内召开的学术会议上作报告4次。