元素和子群的共轭类对有限群结构的影响

The conjugacy classes of elements of a finite group and the conjugacy classes of its subgroups have very close relation with the structure of the finite group. Therefore, the research to the structure of a finite group by using the properties of conjugacy classes of elements and the conjugacy conditions of subgroups has become a very important research subject. In this project, by using the methods of group action and local analysis, we will apply graph theory to the research of finite group theory. Firstly, we will make some research on the structure of a finite group when the conjugacy class sizes of some elements satisfy particular conditions; then we will make some research on the influence of conjugacy class graph on the structure of a finite group; lastly, by using theories of group formations and embedded properties of subgroups, we will make some research on the influence of TI-subgroups and QTI-subgroups on the structure of a finite group. These contents are some frontier problems of finite group theory, and the results will have important academic significance in the development of finite group theory and its related discipline.

有限群中元素的共轭类和子群的共轭类与有限群的结构有着非常紧密的联系。因此应用元素共轭类的性质和子群共轭类的条件研究有限群的结构成为重要的研究课题。本项目利用群作用和局部分析的方法，将图论应用到有限群的研究中。首先研究某些元素的共轭类长满足特定条件时有限群的结构；其次研究共轭类图对有限群结构的影响；最后利用群系理论和子群的嵌入性研究TI-子群和QTI-子群对有限群结构的影响。这些研究内容是有限群研究的一些前沿问题，相应的研究成果将会对有限群论及相关学科的发展有重要的学术意义。

确定有限群的结构是有限群论中一个重要的课题，而有限群中元素的共轭类信息与子群的性质对有限群的结构有极其重要的影响。按照研究计划，我们利用群作用的研究手段在上述两方面展开研究，取得了一些有意义的科研成果，在一定程度上推动了此方面的研究。主要研究内容如下：在元素的共轭类信息对有限群结构的影响方面，我们研究了有限群或其正规子群中某些元素的共轭类长满足特定条件时有限群或其正规子群的结构。进一步，我们研究了正规子群的共轭类图为正则图时该正规子群的结构。在子群性质对有限群结构的影响方面，根据研究计划，我们对某些非交换子群或极大子群为TI-子群和QTI-子群的有限群结构进行了完全刻画。此外，我们还利用P-次正规子群、弱H-子群、M-正规嵌入子群、CSS-子群等研究了有限群的p-幂零性和超可解性等，并将研究推广至饱和群系。