非局部算子的谱理论及相关定解问题

In recent years, there are many differential equations with nonlocal operators which appear in fluid mechanics, probability theory, physics, biology etc, and they cause lots of scholars' attention. This project mainly concerns with the study of solutions of several evolution equations with nonlocal operators and their fundamental theory. Concerning the nonlocal initial value problem of abstract fractional evolution equation with α∈(1,2), we discuss the existence, regularity of solutions defined in different sense. We also study the qualitative theory of the initial and boundary value problems of some fractional diffusion equation and fractional wave equation that have practical background. With respect to the nonlocal operator defined in bounded domain with indefinite weight function （nonlocal diffusion operators and fractional Laplace operators）, we focus on establishing the distribution of eigenvalues, the existence of principal eigenvalue and its upper and lower bound, the regularity and asymptotic behavior of principal eigenfunction. We also study the unilateral global bifurcation structure of corresponding perturbed problems, analyze the existence of solution and their global structure. Concerning the spectrum theory of nonlocal operators defined in the whole space with weight function, we consider their existence and property of principal eigenvalue and their application. The results of this project will improve and perfect the fundamental theory of nonlocal operators, and provide theory basis for some numerical computation and application of nonlocal differential equations.

近年来，在流体力学、概率论、物理学、生物学等学科的研究中，导出了许多具有非局部算子的微分方程，引起了许多学者的关注。本项目就是对几类非局部微分方程的解及其相关理论的构建开展研究。对阶数α∈(1,2)时的抽象分数阶发展方程非局部初值问题，讨论其在不同意义下的解的存在性、正则性等。在此基础上研究一些具体的有实际背景的分数阶扩散方程和波方程的初边值问题解的定性性质。对定义在有界区域的带变号权函数的非局部算子（非局部扩散算子和分数阶Laplace算子），研究其特征值的分布情况，主特征值的存在性及上下界估计，主特征函数的正则性和渐近行为。考虑相应扰动问题的全局分歧结构, 获得解的存在性及解的全局结构。对定义在全空间上带权函数的非局部算子的谱理论，讨论其主特征值的存在性及性质和相关应用。这些问题的研究或实质性的进展将改进和完善非局部算子的基本理论，为非局部微分方程的数值计算和应用提供必要的理论依据。

在流体力学、概率论、物理、生物等领域中导出了许多具有非局部算子的微分方程，近年来，具有非局部算子的微分方程的研究已成为微分方程领域的热点问题之一。本项目首先研究了定义在全空间上带不定权函数的分数阶Laplacian算子及分数阶p-Laplacian算子的谱理论，证明了它们都存在一列特征值，讨论了主特征值的存在性和性质，在此基础上，通过精细的分析技巧，考虑了特征值理论在非线性问题单个及多个解存在性方面的应用。接着研究了一类非线性项有临界指数项的非局部问题的非平凡解的存在性和分歧。其次分别讨论了时间分数阶扩散方程及系统初值问题解的定性性质，给出了全局弱解存在及不存在的判定条件，临界指数的确定，解的爆破等，与经典抛物系统相比，所得结果表明，在临界情形，分数阶扩散系统的正解仍可以全局存在。同时，我们在分析了变量阶算子的基本的性质之后，讨论了某些变量阶微分方程问题解的存在性、唯一性及解的相关性质，也论证了某些分数阶常微分方程问题解的存在性及其在实际中的应用。这些问题的研究改进和完善了非局部算子的基本理论，为非局部微分方程的数值计算和应用提供了一些理论依据。