算子空间上与谱，局部谱以及零斜Lie积相关的完全保持问题研究

The spectrum and the local spetrum, as the characteristics of operator algebras, have important theoretical values and application values. Complete preserver problems about the spectrum are closely related to the well-known Kaplansky 's problem. Under the framework of operator spaces, we make use of holomorphic function theory and properties of second-moment operator matrix, and research the maps compressing the spectrum or spectral functions of operator products on operator algebras, and further give the characterization of maps completely compressing the spectrum and spectral functions on operator algebras. Then we go on researching the characterizations of maps completely preserving the local spectrum, the local invertibility, and zero skew Lie products, etc., and generalize the relevant complete preserver problems to other algebras. Note that the above maps are generally nonlinear maps. Through the research of this project, we try to discover the internal relation of properties of the second-moment operator matrices and operator, and to find out the complete invariants of isomorphisms. And this project is very important to recognizing the structure of operator algebras and operator spaces, and provides some theoretical basis and the application foundation for the total development of complete preserver problems and the solutions of the Kaplansky 's problem.

谱和局部谱是具有重要理论价值和应用价值的算子代数的特征，算子空间上与谱相关的完全保持问题与著名的Kaplansky's问题密切相关。本申请项目拟在算子空间框架下，利用全纯函数理论和二阶算子矩阵的性质，研究算子代数上压缩乘积谱及谱函数的映射，进一步刻画算子代数上完全压缩谱及谱函数的映射的结构，研究算子代数上完全保持局部谱，局部可逆性以及零斜Lie积的映射，并将上述完全保持问题推广到其它代数上，所研究的映射一般为非线性映射。通过本项目的研究，发掘二阶算子矩阵和算子之间相关性质的内在联系，寻找同构的完全不变量，对于认清算子代数和算子空间的结构性质有重要意义，为完全保持问题研究的全面开展和Kaplansky's问题的解决提供一些理论依据和应用基础。

在完全保持问题的框架下，讨论了不同算子代数上完全保持与交换性和Jordan零积相关的一般保持问题。映射没有线性和可加或者连续性的假设。分别在标准算子代数上、不定内积空间标准算子代数上、因子von Neumann代数上、套代数上和JSL代数上讨论了完全保持交换性、Jordan零积、斜交换性、斜Jordan零积、Jordan 1-*-零积、Jordan \eta -*-零积等相关的映射的刻画问题。给出了这些映射的具体形式。结果表明，这些映射是同构或者共轭同构的常数倍，上述这些性质特征是完全保持问题的不变量，它们可以对于不同的算子代数进行完全的刻画分类。这对于进一步了解不同算子代数自身内部的结构特征给出有力的工具，对于更好的认识算子代数做出了基础性的贡献。由于保持交换性的问题和量子力学密切相关。量子力学中可观测量的相容性问题即是算子代数中保持交换性的映射的研究问题。进而，我们的研究结果对于量子力学相关问题提供算子的相关基础支撑。.算子代数或者算子空间上的完全保持问题研究，属于保持问题的一个新的研究方向，将算子空间和保持问题相结合，能有效的找到同构的完全不变量。而且，完全保持问题所涉及的映射和特征又在量子力学和量子信息领域有重要应用拓展。我们研究的问题有广阔的科学意义和实际的应用前景。