正广义系统的理论与数值模拟及其在生态环境模型中的应用

One of the objectives of our project is to investigate the existence and uniqueness and analytical expression of the solution of positive linear (or quasilinear) descriptor systems. We will ready to analyze the dynamic behavior and construct the discrete numerical algorithms preserving positivity of positive descriptor systems and give the analysis of the stability of these algorithms. Then, we will research the conditions and parameter structure of the occurrence of singular Hopf bifurcation or singular induced bifurcation of positive descriptor systems and also construct the effective numerical methods for the bifurcation computation mentioned above. Using the measured data of Taihu Lake and the results of theory and algorithm of positive descriptor systems, we will build the models of pollution dispersion and purification of Taihu Lake basin and give the dynamic parameter estimation and numerical simulation and prediction of these models. As the singular induced bifurcation of the descriptor system model of water quality often means that the algae in a sudden burst, it is also our aim that to provide the critical set of parameters for the outbreak of algae in Taihu Lake.

本项目拟研究正线性和正拟线性广义系统解的存在性、唯一性及其解析表示、系统的动力学性态分析，构造保持正性的离散数值计算格式、分析算法的稳定性等。研究正广义系统出现奇异Hopf分岔和奇异诱导分岔的条件及参数结构，构造计算正广义系统分岔的有效数值方法。利用实测数据和正广义系统的研究结果，建立太湖流域湖泊污染扩散模型和净化模型，进行模型的动态参数估计、太湖水质的数值模拟和预测。因为基于广义系统的水质模型的奇异诱导分岔往往意味着藻类的突然爆发, 因此本课题目标之一是给出太湖蓝藻爆发的实用的临界参数集。

正广义系统有广泛的应用背景，本项目研究基于生态环境的正广义系统的模型和计算问题。. 针对一类浮游植物和浮游动物相互作用的Holling II型反应模型,揭示了毒素和庇护所效应的非线性动力学机制,研究了Hopf分岔，余维2和Bogdanov Takens 3分岔的性态。研究结果表明，浮游植物的避难所和毒素作用机制对产生和终止淡水湖的蓝藻水华有显着影响。研究了具有两个时滞的疟疾模型和具有饱和恢复的传染病模型的丰富动力学特性，并讨论了蚊虫成熟延迟对蚊媒传播的影响。.生态环境的正广义系统的模型往往给出的是代数（偏）微分方程组(DAEs,PDAEs)。本项目主要研究DAEs的动力学性态分析,保持正性的离散数值计算格式的构造和分析,以及湖泊生态模型出现奇异Hopf分岔和奇异诱导分岔的条件及参数结构。应用一个参数化的Uzawa波形松弛方法求解代数微分方程初值问题,证明了该方法的半收敛性, 算法有效性。给出了求解指标不超过2 的偏代数微分方程组的无网格法,并讨论了方法的收敛性,条件数,配置点的选取等问题。. 多辛方法是一类保结构算法，对求解DAEs等许多方程都有较好的效果。我们提出了求解非线性Schrǒdinger方程的两个新的多辛积分方法,研究了方法的收敛性，稳定性和算法的有效性,给出了多辛算法在Maxwell’s方程的怪波解和数值色散性问题上的应用。并将此多辛方法用来求解PDAEs和Klein - Gordon - Schrǒdinger方程。. 项目运用变分方法研究了参数估计问题中一类非线性逆问题, 提出了一个全局变分最小化技术和一个改进的加速投影梯度法，在相对比较弱的条件下证明了算法的收敛性和有效性。.非线性方程组的求解是DAEs（PDAEs）离散化求解中的一个重要步骤。对具有重根的非线性方程，我们研究了基于Taylor展开的改进Newton法,Osada法和Halley’s方法，减弱迭代收敛条件，扩大了这类算法的适用范围，给出了一类求解非线性代数方程(组)多重根的三阶和四阶方法格式和收敛性分析, 讨论了求解非线性代数方程组多重根的动力学性态。. 项目还给出了与线性参数估计有关的半收敛的一类USSOR线性最小二乘算法。应用约化方法，将一类非线性特征值问题转化为序列二次特征值问题，并构造有效的二次逼近迭代格式。讨论了广义模糊线性系统的有效求解问题.