反常扩散的广义积分方程构造理论及其数值应用

The fractional differnetial equation is an effficient tool to describe the diffusion problems in porous medium. The most often used methods are the finitie difference method and the finite volmue method. In the numerical simulation,the storage information becomes very large which greatly effects numerical methods' efficiencies. As is well known, variation approach plays a crucial role in the eqvailent integral representation of differential equations. Based on fractional calculus of variations and variational iteration formulae,this program suggests a strategy to construct the eqvailent integral equations of the nonlinear fractional diffusion equation which overcomes the drawbacks arising in the difference methods. Using theories and numerical methods of integral equations,i.e., Taylor series, spline collation method and predictor corrector approach,the numerically simulation of the fractional diffusion equation is then considered. The proofs of the convergence, the stability and the error analysis are also given.

多孔介质中的扩散常表现出历史依赖和全域相关性，分数阶导数能够准确描述这类扩散现象。有限差分法与有限单元法为常用的数值方法，随长时间计算，计算数据信息存储量急剧增加，这成为分数阶微分方程数值计算的难题之一。变分法是探索微分方程等价积分表示的有效工具。项目利用分数阶变分原理和变分迭代格式，将时间分数阶扩散方程化成等价的广义积分方程，消除由分数阶导数引起的计算复杂度，提高分数阶扩散方程的数值计算效率。基于积分方程理论和方法，如Taylor级数法、配置方法和预估校正等，进行分数阶扩散方程的解析和数值计算,给出收敛性证明和误差分析，力求在分数阶微分和广义积分方程等价构造理论和数值算法的精度、稳定性上取得一定的进展。

反常扩散问题在地下水运移、海水侵蚀等方面应用广泛，分数阶偏微分方程是一种描述其复杂动力学行为的行之有效的方法。但分数阶导数的历史或时间依赖性很难进行长时间或大区域的数值计算。传统的偏微分方程的研究方法固然可以应用于分数阶扩散方程，但精度不高、稳定性分析复杂。基于此，项目提出了开展了该方面的研究：1）首先将对应的分数阶方程化成等价的积分方程，利用一种新的Adomian方法对非线性性线性化处理，然后再解析或半解析求解，研究了非线性扩散方程的动力学行为；2）基于Atici和Eloe等人离散分数阶微积分，先研究了分数阶常差分方程的混沌，提出了一类新的分数阶混沌映射，得出了丰富的混沌与同步的动力学行为，证明了该分数阶差分工具无数值误差但又能保持分数阶导数的记忆效应；3）提出了二种Riesz空间分数阶差分定义，克服了Riesz-RL空间差分的在初始点的奇异效应，并用于离散时间或空间的扩散问题计算，将分数阶偏差分方程等价化成有限维常微分方程组，从而使得为今后进一步研究分数阶扩散问题的渐近行为成为可能；4） 基于Lyapunov函数方法，提出了分数阶差分方程的稳定性结论。 项目形成了以时标和分数阶导数结合的建模工具，克服了传统分数阶导数容易形成累积误差的缺陷，可用于反常扩散、图像处理、控制系统等当前热点领域。