多复变量Theta函数和黎曼面上的Cauchy核

Cauchy核和Cauchy积分公式在单复分析理论中极为重要，Theta函数是一类重要的多复变量解析函数。本项目将应用Theta函数推广单位圆盘上的Cauchy核和Cauchy积分公式，研究各种亏格黎曼面上的Cauchy型积分核并讨论与之相关的函数论及其应用。具体是：第一，研究如何在黎曼面上构造（拟）距离函数，并且利用这一概念给出黎曼面上"有界域"的描述；研究如何应用多复变量的Theta函数来构造黎曼面上线从截面所成空间的基，构造黎曼面上"有界域"的Cauchy型积分核并建立相应的Cauchy型积分公式，研究它们的性质和应用，例如：在求解黎曼面上的Riemann-Hilbert问题和讨论代数曲线上一些共形代数的表示中的应用等等；第二，研究黎曼面上"有界域"上的全纯函数是否具备一些类似于复平面圆环域上全纯函数所具备的一些经典性质。