倒向随机热方程的数值算法

In this program, we establish a numerical scheme to solve the initial-boundary value problem for backward stochastic heat equations. Up to now, numerical methods of backward stochastic ordinary differential equations have been studied by many experts; however, those of backward partial differential equations are very limited and unsatisfactory. Based on the Galerkin approximation, we present a numerical scheme for backward stochastic heat equations. Firstly, we approximate the original equation by a family of backward stochastic differential equations (BSDEs, for short). For this part, we show the convergence and the error estimate with respect to the spatial variable. Then, to solve the aforementioned BSDEs, we adopt a backward Euler method and also obtain the error estimate on the time variable. The numerical scheme for backward stochastic heat equations has value in both theory and practical applications.

本项目主要是给出倒向随机热方程初边值问题的数值算法。迄今，倒向随机常微分方程的数值算法已有不少结果，但是倒向随机偏微分方程的相应结果却极少，并且远不够令人满意。我们主要是利用半离散Galerkin方法给出一类特殊的倒向随机偏微分方程—倒向随机热方程的数值算法。首先，给出原方程的有限维逼近方程，得到逼近方程的解与原方程的解关于空间变量的收敛关系和收敛速度；其次，对于逼近方程，由于其形式的特殊性，利用倒向Euler方法给出优于已有结果的数值算法，得到关于时间变量的收敛速度。倒向随机偏微分方程的数值算法不仅有理论价值，而且在控制论中有实际的应用价值。

从上世纪九十年代开始，倒向随机常微分方程理论发展迅速，并且成功地应用到金融数学、控制论等领域中。但是，一般来说，倒向随机微分方程的解析解不容易得到，而在具体应用中又迫切需要上述方程的解，这就为倒向随机微分方程的数值算法研究提出了要求。迄今，关于倒向随机常微分方程的数值算法研究已经有了不少的结果；但是，对倒向随机偏微分方程的数值算法的研究结果还非常少，并且也不够令人满意。作为一类特殊的倒向随机偏微分方程，倒向随机热方程在应用数学（控制论）领域已经被广泛应用。因此，倒向随机热方程的数值算法研究不仅有理论上的意义，而且也有实际的应用价值。.. 本项目主要是采用半离散Galerkin方法给出倒向随机热方程初边值问题的数值算法。首先，我们给出原方程的有限维逼近方程（一族倒向随机常微分方程），得到逼近方程的解与原方程的解关于空间变量的收敛关系和收敛速度；其次，对于逼近方程，由于其形式的特殊性，我们利用倒向Euler方法给出优于已有结果的数值算法，得到关于时间变量的收敛性和收敛速度。.. 本项目上述研究内容已经整理成论文 A semi discrete Galerkin scheme for backward stochastic parabolic differential equations 并发表。该结果将会对倒向随机偏微分方程的Galerkin数值算法的研究起到抛砖引玉的作用，为进一步研究倒向随机偏微分方程的其他算法奠定基础。