高维耦合正倒向随机微分方程的高效数值方法及其应用

Based on the theory of forward backward stochastic differential equations (FBSDEs), this project is aimed at studying on efficient numerical methods for high-dimensional coupled FBSDEs and their applications by combining both the advantages of highly accurate deterministic numerical methods and stochastic computation methods with facile realization, easily parallel processing and lower dependence on dimensions. First of all, we propose high-order numerical methods for solving high-dimensional coupled FBSDEs by improving the time discrete schemes and high-dimensional function approximation methods in the framework of time-space discretization. However, as the dimension of FBSDEs increases, to overcome the curse of dimensionality caused by structural meshes and deterministic numerical analysis methods, we need to break the restriction of the commonly used time-space discretization framework. By means of the Multi-Level Monte Carlo method and the fixed-point iteration method for solving system of functional equations, we carry out a brand new numerical method for solving high-dimensional coupled FBSDEs. Finally, we rigorously analyze the convergence, stability and computational complexity of the proposed methods, and study their applications in the fields of solving high-dimensional PDEs, stochastic optimal control problems and financial problems.

本项目以正倒向随机微分方程（FBSDEs）理论为基础，基于确定性算法的高精度性和随机算法易实现、易并行、低维数依赖性等特点，致力于研究高维耦合FBSDEs的高效数值方法及其应用。首先，在现有的时空离散框架下，通过研究更加高效的时间离散格式和空间函数逼近方法，提出具有高阶收敛性的高维耦合FBSDEs数值方法。其次，为克服结构性网格和确定性数值分析方法在高维应用中的维数灾难，需要打破时空离散框架的限制，结合多水平蒙特卡洛算法和泛函方程组不动点迭代求解技术，研究并提出求解耦合FBSDEs的全新数值方法。最后，严格的理论数值分析所提数值方法的收敛性、稳定性和计算复杂度，研究所提数值方法在求解高维偏微分方程、高维随机最优控制问题和高维金融问题中的应用。

高维问题一直是计算数学领域的一大难题，近年来，机器学习和深度学习算法得到了广泛应用，也为研究高维问题提供了崭新的途径。高维正倒向随机微分方程（FBSDEs）与高维偏微分方程（PDEs）、高维随机最优控制问题有紧密的联系。而本项研究正是基于这种关系，结合确定性数值方法、随机算法和机器学习算法的特点，提出求解高维FBSDEs的数值格式，并将其应用于PDEs和随机最优控制问题的数值求解中。..结合已有的FBSDEs高精度数值格式和理论研究，在随机最大值原理的应用和推广方面发表学术论文两篇。在数值算法研究方面，对经典的反馈随机最优控制问题，利用随机最大值原理，将最优控制问题转化为一个带有最优条件的FBSDEs。结合投影梯度算法、Newton方法等优化方法，提出了求解随机最优控制问题的高精度算法。在对算法进行针对性改进后，求解了金融市场中的最优投资组合问题和最优投资-生产-消费决策问题，得到了高精度的数值结果。在理论研究方面，利用针状变分，在容许控制集非凸的条件下，得到了Levy过程驱动的FBSDEs最优控制问题的随机最大值原理，并对系统初始和终端条件受限的情况进行了讨论，得到了金融中一类最优消费比率问题解的解析形式。结合此项理论结果，可以进一步得到求解Levy过程驱动的随机最优控制问题的高精度方法。..在本项目的资助下，联合培养博士研究生1人，培养硕士研究生3人。其中博士毕业1人，硕士毕业2人，1人在读（国际学生）。参加国际、国内学术会议6次，其中做学术报告2次。邀请随机计算、随机最优控制和金融数学等方向学者报告6人次。进行国内访学1次，为期3个月。..本项目研究成果能够对金融市场中的若干问题进行高精度求解，利用市场数据确定模型参数后，对实际问题的求解将更加准确。此外，算法在多方委托代理问题、市场冲击博弈问题中也有重要应用。