基于比较原理的分数阶非线性系统稳定性与镇定及其在混沌同步中的应用研究

Stability,stabilization and chaos synchronization are important parts of fractional order systems in theory and applications. However, at the present time, these researches are based on stability of linear fractional order systems, with little consideration of nonlinearity in systems. Consequently, cost of control is high and not easy to implement. The nonlinear stability and control of fractional order systems, including general fractional systems and fractional ones with impulsive terms, will be investigated in this program. Theory about fractional systems and control schemes and methods will employed. First, comparsion principles, estimates of Mittag-Leffler functions,inequalities of fractional differentiation and those of fractional integrals with singular kernels will established. Scalar and vector forms of comparison principles will be presented respectively. Then, based on the theorectical foundations above, stability of fractional systems will be studied. Stability of the original systems could also be derived from that of the comparison systems. Then conditioins of scalar and vector Lyapunov stability will given. Finally, we will use the obtained theory of stability to control nonlinear fractional systems. The controlled systems will be stabilized or synchronized under the proposed control schemes, which will be easy to implement and have much lower cost. This program will present the evolving dynamical properties and enrich the mathematical theory of fractional systems. Furthermore, it will provide some ideas and methods for practical applications of such systems.

稳定性、镇定及混沌同步控制是分数阶系统的理论研究与应用的重要组成部分，目前该问题的研究主要基于线性稳定性理论，不能反映系统的非线性性态，控制代价高、不易实施。本项目以分数阶非线性系统以及含有脉冲的分数阶系统为研究对象，借助分数阶微分方程理论、系统控制理论，研究分数阶非线性系统稳定性、镇定及其同步控制问题。首先，研究分数阶系统的比较原理，建立数量与向量形式的比较原理，建立Mittag-Leffler函数的估计、分数阶微分与含奇异核的积分不等式；其次，研究系统的稳定性，利用相应的估计式、不等式和比较原理等，根据比较系统的稳定性来判定原系统的稳定性，给出数量与向量形式的Lyapunov稳定性判定条件；最后，利用所建立的稳定性理论，对分数阶系统进行控制，以代价小易于实施的方案使其达到镇定、同步状态。本项目的研究将揭示分数阶系统内在演化规律, 丰富该系统的数学理论，为该系统的应用提供基本思路及途径。

分数阶系统具有非局部特性，使得此类系统具有时间记忆性和遗传性。对此类系统的稳定性及其相关问题研究，现有整数阶系统对应的理论和方法都不能行之有效地解决，鉴于分数阶系统越来越广泛地应用于力学、控制科学等领域，对于此类系统相关问题的研究显得十分迫切和必要。稳定性是首先关注的核心问题之一。本项目针对非线性分数阶系统的稳定性、镇定及其在混沌同步控制中的应用进行研究。对于分数阶系统稳定性问题，首先需要建立对应的判定系统稳定、渐近稳定等稳定性分析理论，给出相应的判定条件。目前已有部分关于分数阶系统稳定性判断的类似Lyapunov稳定性方法。项目组拟通过建立分数阶系统的比较原理和分数阶微积分不等式，对分数阶系统、时滞分数阶系统及相关的函数进行估计，将系统稳定性转化成另一个能够用现有方法比较容易判断的系统稳定性问题，从而达到判定的目的。基于稳定性的理论，进一步研究系统的镇定性，使得混沌系统变成稳定系统，或多稳定系统趋于其中某一状态，使得系统达到控制的目标状态；基于稳定性及镇定性分析，控制分数阶混沌、超混沌系统达到同步状态，该研究对于保密通信、信号处理具有很好的应用前景。通过本基金项目的研究，建立了分数阶系统、多时滞的分数阶系统的比较原理、分数阶导数的微分不等式，并以此来给出分数阶系统、时滞分数阶系统稳定性、有限时间稳定性以及系统镇定的判断条件；研究了高维分数阶系统的混沌特性，构造了多方向多漩涡分数阶超混沌系统；应用所建立的分数阶系统、时滞分数阶系统的比较原理、稳定性及镇定性理论，研究了分数阶神经网混沌络系统、多时滞分数阶神经网络系统、忆阻器分数阶神经网络系统的不同类型的同步问题。该项目的研究为分数阶系统的稳定性与同步控制等问题，提供了理论和应用研究基础。